Examkin

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

29 soru

Soru 1Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu doğrusal bir fonksiyondur.

f(x)+f(x+2)=6x−2f(x) + f(x+2) = 6x - 2

eşitliği sağlandığına göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğru cevap 8 değeridir.
Doğrusal fonksiyon tanımı (f(x)=ax+bf(x)=ax+b) kullanılarak katsayılar eşitlendiğinde fonksiyonun kuralı f(x)=3x−4f(x)=3x-4 olarak bulunur. Bu kuralda x=4x=4 yazıldığında sonuç 8 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu yaz.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda fonksiyonun doğrusal olduğu belirtilmiştir.
2
f(x+2)f(x+2) ifadesini oluştur ve denklemde yerine koy.
f(x+2)=a(x+2)+b=ax+2a+bf(x+2) = a(x+2) + b = ax + 2a + b olur. Denklem: (ax+b)+(ax+2a+b)=6x−2(ax + b) + (ax + 2a + b) = 6x - 2
Verilen eşitliği aa ve bb cinsinden ifade etmek için gereklidir.
3
Eşitliğin sol tarafını düzenle ve katsayıları eşitle.
2ax+(2a+2b)=6x−22ax + (2a + 2b) = 6x - 2. Buradan xx'in katsayısı için 2a=62a = 6, sabit terim için 2a+2b=−22a + 2b = -2 bulunur.
Polinom eşitliği ilkesi gereği aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
4
aa ve bb değerlerini bul.
2a=6⇒a=32a = 6 \Rightarrow a = 3. İkinci denklemde yerine yazarsak: 2(3)+2b=−2⇒6+2b=−2⇒2b=−8⇒b=−42(3) + 2b = -2 \Rightarrow 6 + 2b = -2 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4.
Fonksiyonun kuralını belirlemek için katsayıların bulunması gerekir.
5
Fonksiyon kuralını yaz ve f(4)f(4) değerini hesapla.
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 olduğundan, f(4)=3(4)−4=12−4=8f(4) = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8.
İstenen sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Doğrusal Fonksiyonlar ve Fonksiyonel Denklemler

İpuçları

1
Bir fonksiyon 'doğrusal' olarak tanımlanmışsa, bu fonksiyonu her zaman f(x)=ax+bf(x) = ax + b biçiminde yazabilirsin.
2
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olduğuna göre, f(x+2)f(x+2) ifadesini xx yerine (x+2)(x+2) yazarak bul ve bu iki ifadeyi topla.
3
Bulduğun toplam 2ax+2a+2b2ax + 2a + 2b şeklindedir. Bu ifadeyi 6x−26x - 2'ye eşitleyerek xx'in katsayılarını (2a=62a=6) ve sabitleri (2a+2b=−22a+2b=-2) karşılaştır.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Doğrusal fonksiyonların artış miktarı sabittir. f(x)f(x) ve f(x+2)f(x+2) toplamında eğimler toplanır. f(x)f(x)'in eğimi mm ise toplamın eğimi 2m=6⇒m=32m=6 \Rightarrow m=3'tür. Yani f(x)=3x+bf(x)=3x+b. Denklemde yerine koyarak bb bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları,

f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5
g(2x−1)=f(x+2)−xg(2x - 1) = f(x + 2) - x

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, g(5)g(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen g(5) değeri 7'dir.
Doğru sonuca ulaşmak için önce g fonksiyonunun içini 5 yapan x değeri (x=3) bulunmuş, ardından bu değer eşitliğin sağ tarafındaki f fonksiyonu ve çıkarma işleminde doğru şekilde kullanılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
g(2x - 1) ifadesinin g(5) olması için parantez içi 5'e eşitlenerek x değeri bulunur.
2x - 1 = 5 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
Fonksiyonun içindeki ifadenin istenen değere eşitlenmesi gerekir.
2
Bulunan x = 3 değeri g(2x - 1) = f(x + 2) - x eşitliğinin sağ tarafında yerine yazılır.
g(5) = f(3 + 2) - 3 = f(5) - 3
Eşitliğin her iki tarafında aynı x değeri kullanılmalıdır.
3
f(5) değerini bulmak için f(x) = 3x - 5 fonksiyonu kullanılır.
f(5) = 3(5) - 5 = 15 - 5 = 10
f fonksiyonunun kuralı uygulanır.
4
Bulunan f(5) değeri ana eşitlikte yerine yazılarak sonuç hesaplanır.
g(5) = 10 - 3 = 7
Son işlem adımı tamamlanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulurken, verilen değişkenli ifade (örn. g(2x-1)) istenen sayıya eşitlenerek önce x değeri bulunmalı, ardından bu değer eşitliğin diğer tarafında kullanılmalıdır.
Soru 3Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x)={x−5,x>40f(f(x+6)),x≤40f(x) = \begin{cases} x - 5, & x > 40 \\ f(f(x + 6)), & x \leq 40 \end{cases}

Buna göre, f(24)f(24) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fonksiyonun tanımı gereği oluşan zincirleme hesaplamalar sonucunda değer 36 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon McCarthy 91 fonksiyonuna benzer bir yapıdadır. x>40x > 40 için f(x)=x−5f(x) = x-5 kuralı, x≤40x \leq 40 için ise f(f(x+6))f(f(x+6)) kuralı geçerlidir. Kritik nokta x=41x=41 değeridir; f(41)=36f(41)=36 olur. x=40x=40 için hesaplandığında f(40)=f(f(46))=f(41)=36f(40)=f(f(46))=f(41)=36 bulunur. Benzer şekilde geriye doğru gidildiğinde, örneğin f(39)=f(f(45))=f(40)=36f(39)=f(f(45))=f(40)=36 olduğu görülür. Bu zincirleme yapı, 40 ve altındaki tam sayıların sonucunun 36'ya sabitlendiğini gösterir. Dolayısıyla f(24)=36f(24)=36 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun davranışını anlamak için sınır değeri olan 40 ve üzerindeki değerleri inceleyelim.
f(41)=41−5=36f(41) = 41 - 5 = 36.
x>40x > 40 olduğu için üstteki kural (x−5x-5) uygulanır.
2
x=40x=40 için fonksiyon değerini hesaplayalım.
f(40)=f(f(46))f(40) = f(f(46)). İçerideki f(46)=46−5=41f(46) = 46 - 5 = 41 olduğundan, f(40)=f(41)=36f(40) = f(41) = 36 olur.
x≤40x \leq 40 kuralı gereği iç içe fonksiyon kullanılır.
3
Bir alt değeri, x=39x=39 için hesaplayalım.
f(39)=f(f(45))f(39) = f(f(45)). f(45)=40f(45) = 40 olduğundan, f(39)=f(40)f(39) = f(40). Önceki adımdan f(40)=36f(40)=36 bulmuştuk, yani f(39)=36f(39)=36.
Geriye doğru gidildikçe sonucun sabitlendiği görülür.
4
Bu örüntüyü f(24)f(24) değerine kadar genişletelim.
f(24)=f(f(30))f(24) = f(f(30)). Eğer f(30)=36f(30)=36 ise sonuç 36 olacaktır. Zincirleme kural gereği 40 ve altındaki sayılar birbirine bağlanarak en sonunda f(41)f(41) değerine, yani 36'ya ulaşır.
Tümevarım mantığıyla x≤41x \leq 41 için f(x)=36f(x)=36 olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Parçalı ve rekürsif (yinelemeli) fonksiyonlarda değer bulma ve örüntü takibi.

İpuçları

1
Önce xx değerinin 40'tan büyük olduğu bir durumu, örneğin f(41)f(41) değerini hesaplayın.
2
f(40)f(40) değerini bulmak için tanımı yerine koyun: f(40)=f(f(46))f(40) = f(f(46)). Önce parantez içini çözün.
3
f(40)f(40), f(39)f(39), f(38)f(38) gibi değerlerin hepsi birbirine bağlıdır ve sonunda f(41)f(41) değerine, yani 36'ya ulaşırlar.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda fakat farklı sınırlara sahip f(x)f(x) fonksiyonları tanımlayarak sabit noktayı bulma alıştırması yapın.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde uygun koşullarda tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x2−2x)=x24+4x2+3f\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) = \frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} + 3
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)f(4) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İstenen değer 21'dir.
Verilen fonksiyon f(x2−2x)f\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) formundadır. Parantez içindeki ifadeye uu denildiğinde, bu ifadenin karesi u2=x24−2+4x2u^2 = \frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2} olur. Buradan x24+4x2=u2+2\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} = u^2 + 2 bağıntısı elde edilir. Fonksiyon kuralı f(u)=u2+2+3=u2+5f(u) = u^2 + 2 + 3 = u^2 + 5 olarak bulunur. f(4)f(4) için 42+5=214^2 + 5 = 21 sonucu doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içindeki ifadeye bir değişken atayın.
u=x2−2xu = \frac{x}{2} - \frac{2}{x} olsun.
Karmaşık fonksiyon yapısını f(u)f(u) biçimine dönüştürmek için değişken değiştirmek gerekir.
2
Atanan değişkenin karesini alarak eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi elde etmeye çalışın.
u2=(x2−2x)2=x24−2⋅x2⋅2x+4x2=x24−2+4x2u^2 = \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{4} - 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = \frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2}
Tam kare özdeşliği (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 kullanılarak terimler açılır.
3
Elde edilen ifadeyi düzenleyerek f(u)f(u) kuralını yazın.
Bulduğumuz eşitlikten x24+4x2=u2+2\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} = u^2 + 2 olur. Bunu fonksiyonda yerine yazarsak: f(u)=(u2+2)+3=u2+5f(u) = (u^2 + 2) + 3 = u^2 + 5 elde edilir.
Fonksiyonun kuralını uu cinsinden en sade hale getirmek çözüm için gereklidir.
4
İstenen f(4)f(4) değeri için u=4u=4 yazarak sonucu hesaplayın.
f(4)=42+5=16+5=21f(4) = 4^2 + 5 = 16 + 5 = 21
Bulunan genel kuralda istenen değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme ve Özdeşlikler

İpuçları

1
Fonksiyonun içindeki ifadeye uu diyerek, dışarıdaki ifadeyi uu cinsinden yazmaya çalışın.
2
(x2−2x)2\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 ifadesini açın ve sorudaki eşitliğin sağ tarafı ile karşılaştırın.
3
Kare aldığınızda ortadaki terim -2 olacaktır. Buna göre x24+4x2\frac{x^2}{4} + \frac{4}{x^2} ifadesi u2+2u^2 + 2 ye eşittir.

Daha Fazla Pratik

f(x+1/x)f(x + 1/x) formunda verilen ve f(x3+1/x3)f(x^3 + 1/x^3) değeri sorulan küp açılımı soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözmek zor olsa da, x2−2x=4\frac{x}{2} - \frac{2}{x} = 4 denklemini sağlayan xx değeri bulunup ana denklemde yerine yazılabilir. Ancak bu yol köklü sayılar içerdiğinden (x=4±25x = 4 \pm 2\sqrt{5}) işlem hatasına daha açıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x)+3f(−x)=2x+4f(x) + 3f(-x) = 2x + 4
eșitliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

f(2) değeri -1'dir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte f(2)f(2) değerini bulmak için, denklemde xx yerine hem 22 hem de −2-2 yazılarak iki bilinmeyenli (f(2)f(2) ve f(−2)f(-2)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
xx yerine 22 yazılarak ilk denklem oluşturulur.
f(2)+3f(−2)=2(2)+4⇒f(2)+3f(−2)=8f(2) + 3f(-2) = 2(2) + 4 \Rightarrow f(2) + 3f(-2) = 8
İstenen değeri içeren bir denklem elde etmek için.
2
f(−2)f(-2) terimini bulmak için xx yerine −2-2 yazılarak ikinci denklem oluşturulur.
f(−2)+3f(2)=2(−2)+4⇒f(−2)+3f(2)=0f(-2) + 3f(2) = 2(-2) + 4 \Rightarrow f(-2) + 3f(2) = 0
Bilinmeyen f(−2)f(-2) değerini f(2)f(2) cinsinden ifade etmek için.
3
İkinci denklemden f(−2)f(-2) çekilip birinci denklemde yerine yazılır.
f(−2)=−3f(2)f(-2) = -3f(2) olduğundan; f(2)+3(−3f(2))=8f(2) + 3(-3f(2)) = 8
İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene düşürmek için.
4
Elde edilen denklem çözülerek f(2)f(2) bulunur.
f(2)−9f(2)=8⇒−8f(2)=8⇒f(2)=−1f(2) - 9f(2) = 8 \Rightarrow -8f(2) = 8 \Rightarrow f(2) = -1
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1
Verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) ve f(−2)f(-2) içeren bir denklem elde ediniz.
2
Sadece x=2x=2 yazmak yetmeyecektir; bilinmeyen f(−2)f(-2) teriminden kurtulmak için xx yerine −2-2 de yazarak ikinci bir denklem oluşturunuz.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (f(2)+3f(−2)=8f(2) + 3f(-2) = 8 ve f(−2)+3f(2)=0f(-2) + 3f(2) = 0) taraf tarafa yok etme veya yerine koyma metoduyla çözünüz.

Daha Fazla Pratik

f(x)+2f(1/x)=3xf(x) + 2f(1/x) = 3x türündeki rasyonel değişkenli soruları inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
f(x2−2x)=4x2−8x+3f(x^2 - 2x) = 4x^2 - 8x + 3
g(3x+1)=f(x+5)g(3x + 1) = f(x + 5)
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, g(−2)g(-2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Önce g(−2)g(-2) için gerekli xx değeri 3x+1=−23x+1=-2 denkleminden x=−1x=-1 olarak bulunur. Bu değer g(3x+1)=f(x+5)g(3x+1)=f(x+5) eşitliğinde yerine yazıldığında g(−2)=f(4)g(-2)=f(4) elde edilir. ff fonksiyonunun kuralı incelendiğinde f(x2−2x)=4(x2−2x)+3f(x^2-2x) = 4(x^2-2x)+3 olduğu görülür, yani f(u)=4u+3f(u)=4u+3 tür. Buradan f(4)=4(4)+3=19f(4) = 4(4)+3=19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(-2) değerini bulmak için g(3x+1) eşitliğinde parantez içini -2'ye eşitleyerek x değerini bulma.
3x + 1 = -2 ⇒ 3x = -3 ⇒ x = -1
Fonksiyonun verilen girdiye karşılık gelen bağımsız değişken değerini bulmak gerekir.
2
Bulunan x = -1 değerini g fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazarak f cinsinden karşılığını bulma.
g(-2) = f(-1 + 5) = f(4)
g fonksiyonunun çıktısı f fonksiyonuna bağlıdır.
3
f fonksiyonunun kuralını analiz etme. f(x²-2x) = 4x²-8x+3 eşitliğinde sağ tarafı sol taraftaki ifadeye benzetme.
f(x² - 2x) = 4(x² - 2x) + 3 ⇒ f(u) = 4u + 3
Fonksiyonun genel kuralını (f(x) veya f(u)) belirlemek için değişken dönüşümü yapılmalıdır.
4
Elde edilen kuralda istenen f(4) değerini hesaplama.
f(4) = 4(4) + 3 = 16 + 3 = 19
Sonuca ulaşmak için fonksiyon kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değişken dönüşümü ve bileşke mantığı

İpuçları

1
Önce g fonksiyonunun içini -2 yapan x değerini bulunuz.
2
Bulduğunuz x değerini g fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazarak f fonksiyonunda hangi değerin istendiğini belirleyiniz.
3
f(x2−2x)=4(x2−2x)+3f(x^2 - 2x) = 4(x^2 - 2x) + 3 parantezlemesini fark edip f(u)=4u+3f(u) = 4u + 3 kuralını kullanınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Fonksiyonun x=4x = 4 için değeri 10'dur.
Fonksiyon kuralı olan 3x−23x - 2 ifadesinde xx yerine 44 yazıldığında, işlem önceliği kurallarına göre önce 33 ile 44 çarpılır (1212), ardından 22 çıkarılır ve sonuç 1010 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenin yerine koyulması
f(4)=3(4)−2f(4) = 3(4) - 2
Fonksiyonda bir değer bulmak için, tanım kümesinden verilen sayı (44), kuraldaki xx değişkeninin yerine yazılır.
2
Çarpma işleminin yapılması
12−212 - 2
Matematiksel işlemlerde öncelik çarpmadadır; bu yüzden önce 33 ile 44 çarpılır.
3
Çıkarma işleminin yapılması
10
Çarpma sonucundan 22 çıkarılarak nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma

İpuçları

1
f(4)f(4) değerini bulmak için fonksiyondaki xx harfi yerine 44 sayısını yazmalısın.
2
3x3x ifadesi, 33 ile xx değerinin çarpılacağı anlamına gelir. Yani önce 3×43 \times 4 işlemini yapmalısın.
3
İşlem önceliğine dikkat et: Önce çarpma (3×43 \times 4), sonra çıkarma (−2- 2) işlemini yapmalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5 için f(3)f(3) değerini hesaplayarak pratik yapabilirsin.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu bir makine gibi düşünebilirsin: Girdi olarak 4 girdiğinde makine önce onu 3 ile çarpar, sonra sonuçtan 2 çıkarır.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
f(x+23)=3x−g(x−1)f\left(\frac{x+2}{3}\right) = 3x - g(x-1)
g(x+1)=4x−6g(x+1) = 4x - 6
eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru cevaba ulaşmak için adım adım fonksiyonların argümanlarını çözümlemek gerekir. Öncelikle f(x+23)f(\frac{x+2}{3}) ifadesinde parantez içinin 2 olması için x=4x=4 bulunmalıdır. Bu değer yerine yazıldığında f(2)=12−g(3)f(2) = 12 - g(3) elde edilir. Daha sonra g(x+1)g(x+1) kuralında parantez içinin 3 olması için x=2x=2 değeri kullanılmalıdır; buradan g(3)=4(2)−6=2g(3) = 4(2)-6=2 bulunur. Son olarak 12−2=1012 - 2 = 10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(2) değerini bulmak için f fonksiyonunun parantez içindeki ifadesini 2'ye eşitleyip gerekli x değerini bulalım.
x+23=2  ⟹  x+2=6  ⟹  x=4\frac{x+2}{3} = 2 \implies x+2 = 6 \implies x = 4.
Fonksiyon kuralını uygulayabilmek için doğru girdi değişkenini (x) tespit etmek gerekir.
2
Bulduğumuz x=4 değerini f fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazalım.
f(2)=3(4)−g(4−1)=12−g(3)f(2) = 3(4) - g(4-1) = 12 - g(3).
Değeri hesaplamak için g(3) değerine ihtiyacımız olduğunu görürüz.
3
g(3) değerini bulmak için g fonksiyonunun tanımını kullanalım. Parantez içini 3 yapan x değerini bulalım.
x+1=3  ⟹  x=2x+1 = 3 \implies x = 2.
g fonksiyonunda x yerine doğrudan 3 yazılmaz, parantez içini 3 yapan değer (2) kullanılır.
4
g fonksiyonunda x=2 yazarak g(3) değerini hesaplayalım.
g(2+1)=4(2)−6  ⟹  g(3)=8−6=2g(2+1) = 4(2) - 6 \implies g(3) = 8 - 6 = 2.
g(3) değerini elde ederiz.
5
Bulduğumuz g(3) değerini ana denklemde yerine koyarak sonucu bulalım.
f(2)=12−2=10f(2) = 12 - 2 = 10.
İşlemi tamamlarız.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulurken, parantez içindeki ifadenin istenen değere eşitlenmesi ve her fonksiyon için ayrı x değeri çözümlenmesi gerekir.

İpuçları

1
Önce ff fonksiyonunun parantez içini 2 yapacak xx değerini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

İç içe fonksiyonlar (bileşke) içeren ve f(g(x))f(g(x)) yapısındaki sorulara çalışmanız önerilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →
Bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
x⋅f(x+1)=(x+2)⋅f(x)x \cdot f(x+1) = (x+2) \cdot f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İşlemler sonucunda f(4) değeri 20 olarak bulunur.
Verilen indirgemeli bağıntıda x yerine sırasıyla 1, 2 ve 3 değerleri yazılarak her adımda bir sonraki fonksiyon değeri elde edilir. f(1)=2f(1)=2 iken f(2)=6f(2)=6, f(3)=12f(3)=12 ve son olarak f(4)=20f(4)=20 sonucuna ulaşılır. Bu süreç, fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki karşılıklarını adım adım bulma prensibine dayanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde x=1x=1 yazılarak f(2)f(2) değeri hesaplanır.
1⋅f(2)=(1+2)⋅f(1)⇒f(2)=3⋅2=61 \cdot f(2) = (1+2) \cdot f(1) \Rightarrow f(2) = 3 \cdot 2 = 6
Fonksiyonun bir sonraki değerini bulmak için başlangıç değerini kullanmak gerekir.
2
Elde edilen f(2)f(2) değeri kullanılarak x=2x=2 için f(3)f(3) değeri hesaplanır.
2⋅f(3)=(2+2)⋅f(2)⇒2⋅f(3)=4⋅6=24⇒f(3)=122 \cdot f(3) = (2+2) \cdot f(2) \Rightarrow 2 \cdot f(3) = 4 \cdot 6 = 24 \Rightarrow f(3) = 12
Ardışık değerleri bulmaya devam ederek hedef değere yaklaşılır.
3
Elde edilen f(3)f(3) değeri kullanılarak x=3x=3 için f(4)f(4) değeri hesaplanır.
3⋅f(4)=(3+2)⋅f(3)⇒3⋅f(4)=5⋅12=60⇒f(4)=203 \cdot f(4) = (3+2) \cdot f(3) \Rightarrow 3 \cdot f(4) = 5 \cdot 12 = 60 \Rightarrow f(4) = 20
Soru tarafından istenen f(4) değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve indirgemeli (recursive) bağıntıların çözümü.

İpuçları

1
Eşitlikte x yerine bilinen değer olan f(1)'i kullanmak için x=1 yazarak başlayın.
2
Her adımda bulduğunuz fonksiyon değerini, bir sonraki x değeri için denklemde yerine koyun.
3
f(4) değerine ulaşmak için x=1, x=2 ve x=3 değerlerini sırayla kullanmanız gerekmektedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda olan f(x+1) = x.f(x) biçimindeki faktöriyel tipi fonksiyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bağıntıyı f(x+1)/f(x) = (x+2)/x şeklinde yazarak f(4)/f(1) oranını f(4)/f(3) * f(3)/f(2) * f(2)/f(1) çarpımı ile bulabilirsiniz: (5/3) * (4/2) * (3/1) = 10. f(1)=2 olduğundan f(4) = 10 * 2 = 20 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
2f(x)−f(1x)=x22f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2
eșitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 114\frac{11}{4}

Cevap

11/4
Verilen fonksiyonel eşitlikte değişken yerine birbirinin tersi olan değerler (x ve 1/x) yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. x=2 ve x=1/2 için oluşturulan denklemler ortak çözüldüğünde f(2) değeri 11/4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte istenen değeri bulmak için önce x = 2 değerini yazarız.
2f(2)−f(1/2)=22=42f(2) - f(1/2) = 2^2 = 4 (I. Denklem)
Fonksiyon kuralını kullanarak f(2) ve f(1/2) arasında bir bağıntı elde etmek.
2
Bilinmeyen f(1/2) değerini yok etmek için eşitlikte bu sefer x = 1/2 değerini yazarız.
2f(1/2)−f(2)=(1/2)2=1/42f(1/2) - f(2) = (1/2)^2 = 1/4 (II. Denklem)
İkinci bir denklem elde ederek iki bilinmeyenli denklem sistemi kurmak.
3
Elde edilen iki denklemi f(2)'yi bulacak şekilde çözeriz. I. denklemi 2 ile genişletip II. denklem ile toplarız.
4f(2)−2f(1/2)=84f(2) - 2f(1/2) = 8 ve −f(2)+2f(1/2)=1/4-f(2) + 2f(1/2) = 1/4 Taraf tarafa toplarsak: 3f(2)=8+14=3343f(2) = 8 + \frac{1}{4} = \frac{33}{4}
Yok etme metodu ile f(1/2) teriminden kurtulup f(2) değerine ulaşmak.
4
Sonuç eşitliğinden f(2) değerini yalnız bırakırız.
f(2)=334⋅13=114f(2) = \frac{33}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{4}
Nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Denklem Sistemi Yöntemi)
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x+1)=2f(x)−xf(x+1) = 2f(x) - x
eşitliği verilmektedir.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İşlemler adım adım takip edildiğinde f(4) değeri 21 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon bir indirgeme bağıntısıdır. f(4)f(4) değerine ulaşmak için f(1)f(1)'den başlayarak sırasıyla f(2)f(2) ve f(3)f(3) değerlerini bulmamız gerekir. Her adımda xx değeri 1 artırılarak formülde yerine konulur ve bir sonraki fonksiyon değeri elde edilir. f(2)=7f(2)=7 ve f(3)=12f(3)=12 bulunduktan sonra son adımda f(4)=21f(4)=21 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x yerine 1 yazılarak f(2) değerini hesapla.
f(1+1) = 2f(1) - 1 ⇒ f(2) = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7
Fonksiyonun yinelemeli (rekürsif) kuralını başlatmak için bilinen f(1) değerini kullanmalıyız.
2
Bulunan f(2) değerini kullanarak, x yerine 2 yazıp f(3) değerini hesapla.
f(2+1) = 2f(2) - 2 ⇒ f(3) = 2(7) - 2 = 14 - 2 = 12
Zincirleme kuralı devam ettirerek hedefe yaklaşmalıyız.
3
Bulunan f(3) değerini kullanarak, x yerine 3 yazıp f(4) değerini hesapla.
f(3+1) = 2f(3) - 3 ⇒ f(4) = 2(12) - 3 = 24 - 3 = 21
Sonuca ulaşmak için son adımı uygularız.

Anahtar Kavram

Yinelemeli (İndirgemeli) Fonksiyonlar
Soru 12Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2+1,x c¸ift sayı ise3x−1,x tek sayı isef(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + 1, & x \text{ çift sayı ise} \\ 3x - 1, & x \text{ tek sayı ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre, (f∘f)(a)=11(f \circ f)(a) = 11 eşitliğini sağlayan aa değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

45
Bileşke fonksiyon sorularında dıştan içe doğru gidilir. f(f(a))=11f(f(a))=11 eşitliğinde önce dıştaki fonksiyonu 11 yapan değer aranır. Fonksiyonun parçalı tanımı gereği, sonuç 11 olduğunda girdi ya y/2+1=11⇒y=20y/2+1=11 \Rightarrow y=20 (çift şartını sağlar) ya da 3y−1=11⇒y=43y-1=11 \Rightarrow y=4 (tek şartını SAĞLAMAZ) olur. Dolayısıyla f(a)=20f(a)=20 olmalıdır. Benzer şekilde f(a)=20f(a)=20 için de iki durum incelenir: a=38a=38 (çift, geçerli) ve a=7a=7 (tek, geçerli). Bu değerlerin toplamı 45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği (f∘f)(a)=f(f(a))=11(f \circ f)(a) = f(f(a)) = 11 eşitliğini çözmek için önce f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılır ve f(y)=11f(y) = 11 denklemi incelenir.
f(y)=11f(y) = 11
Fonksiyonun tersinden giderek içteki değeri bulmak için.
2
f(y)=11f(y) = 11 olması için iki durumu (tek ve çift) kontrol et.
Durum 1 (Çift): y2+1=11⇒y=20\frac{y}{2} + 1 = 11 \Rightarrow y = 20. 20 çift sayı olduğu için GEÇERLİDİR.
Durum 2 (Tek): 3y−1=11⇒3y=12⇒y=43y - 1 = 11 \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4. 4 tek sayı olmadığı için GEÇERSİZDİR.
Parçalı fonksiyonun tanım aralığı (tek/çift olma şartı) kontrol edilmelidir.
3
Bulunan geçerli y=20y = 20 değeri için, f(a)=20f(a) = 20 eşitliğini sağlayan aa değerlerini bul.
Durum 1 (Çift): a2+1=20⇒a2=19⇒a=38\frac{a}{2} + 1 = 20 \Rightarrow \frac{a}{2} = 19 \Rightarrow a = 38. (38 çifttir, GEÇERLİ)
Durum 2 (Tek): 3a−1=20⇒3a=21⇒a=73a - 1 = 20 \Rightarrow 3a = 21 \Rightarrow a = 7. (7 tektir, GEÇERLİ)
İkinci aşamada tekrar fonksiyonun ters görüntülerini bulmak için.
4
Bulunan geçerli aa değerlerini topla.
38+7=4538 + 7 = 45
Soruda a değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve ters görüntü (görüntü kümesinden tanım kümesine geçiş) işlemlerinde tanım koşullarının kontrolü.

İpuçları

1
(f∘f)(a)=f(f(a))(f \circ f)(a) = f(f(a)) olduğunu hatırlayın. Önce f(k)=11f(k) = 11 olacak şekilde kk değerini bulmaya çalışın.
2
f(k)=11f(k) = 11 denklemini çözerken, fonksiyonun iki farklı kuralı olduğunu unutmayın. Bulduğunuz kk değerinin o kural için gerekli 'tek' veya 'çift' şartını sağlayıp sağlamadığını mutlaka kontrol edin.
3
İlk adımda 3k−1=113k-1=11 derseniz k=4k=4 bulursunuz, ancak kural 'tek sayılar' içindir. 4 tek sayı olmadığı için bu çözümü elemelisiniz. Sadece k=20k=20 değeri geçerlidir. Şimdi f(a)=20f(a)=20 için tekrar çözüm yapın.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yerine, ters fonksiyon mantığıyla f−1(11)f^{-1}(11) kümesini bulup, bu kümenin elemanları için tekrar ters fonksiyon uygulayabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(2x+1x−1)=x2−ax+4f\left(\frac{2x+1}{x-1}\right) = x^2 - ax + 4
eşitliğini sağlamaktadır.

f(5)=10f(5) = 10 olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Fonksiyonun verilen değerini sağlamak için xx yerine 2 yazılmalıdır, bu durumda aa değeri -1 olarak bulunur.
Fonksiyonun kuralında f(5)f(5) değerine ulaşmak için öncelikle 2x+1x−1=5\frac{2x+1}{x-1} = 5 denklemi çözülerek x=2x=2 bulunur. Daha sonra fonksiyonun sağ tarafında xx yerine 2 yazılarak 4−2a+4=104 - 2a + 4 = 10 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde 8−2a=108 - 2a = 10 ve buradan a=−1a = -1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içinin 5'e eşitlenmesi
2x+1x−1=5\frac{2x+1}{x-1} = 5
f(5)f(5) değerini kullanabilmek için argümanın 5 olması gerekir.
2
Rasyonel denklemin çözülmesi
2x+1=5x−5⇒3x=6⇒x=22x + 1 = 5x - 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2
İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen xx değeri belirlenir.
3
xx değerinin fonksiyonun sağ tarafında yerine yazılması
f(5)=22−a(2)+4f(5) = 2^2 - a(2) + 4
x=2x=2 yazıldığında fonksiyonun tanımındaki sağ taraf f(5)f(5) değerine karşılık gelir.
4
Elde edilen ifadenin verilen sonuca eşitlenmesi
8−2a=108 - 2a = 10
Soruda f(5)=10f(5) = 10 olarak verilmiştir.
5
aa parametresinin yalnız bırakılması
−2a=2⇒a=−1-2a = 2 \Rightarrow a = -1
Doğrusal denklem çözülerek istenen parametre bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve bilinmeyen parametre hesaplama

İpuçları

1
f(5)f(5) değerini elde etmek için parantez içindeki ifadenin 5 olması gerektiğini fark edin.
2
2x+1x−1=5\frac{2x+1}{x-1} = 5 denkleminden xx değerini çekin.
3
Bulduğunuz xx değerini fonksiyonun sağ tarafına yerleştirip 10'a eşitleyerek aa bilinmeyenini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(g(x))f(g(x)) yapısındaki bileşke fonksiyonlarda değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bir ff fonksiyonu f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1} biçiminde veriliyor. Buna göre, f(x+1)f(x+1) ifadesinin f(x)f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5f(x)−4f(x)+1\frac{5f(x)-4}{f(x)+1}

Cevap

f(x+1) ifadesinin f(x) türünden eşiti pay kısmında 5f(x)-4 ve payda kısmında f(x)+1 bulunan rasyonel ifadedir.
Verilen fonksiyonun x+1 değerindeki görüntüsü elde edildikten sonra, asıl fonksiyondaki bağımsız değişken olan x, fonksiyonun kendi değeri cinsinden ifade edilip yerine konulmuştur. Bu cebirsel dönüşüm sonucunda istenen ilişki kurulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x+1) ifadesini x cinsinden bulmak için f(x) fonksiyonunda x yerine x+1 yazılır.
f(x+1)=2(x+1)+1(x+1)−1=2x+3xf(x+1) = \frac{2(x+1)+1}{(x+1)-1} = \frac{2x+3}{x}
Soruda istenen ifadenin temel yapısını kurmak.
2
f(x) fonksiyonu yardımıyla x ifadesini f(x) cinsinden yalnız bırakmak.
f(x)=2x+1x−1⇒f(x)⋅(x−1)=2x+1⇒x⋅f(x)−f(x)=2x+1⇒x(f(x)−2)=f(x)+1⇒x=f(x)+1f(x)−2f(x) = \frac{2x+1}{x-1} \Rightarrow f(x) \cdot (x-1) = 2x+1 \Rightarrow x \cdot f(x) - f(x) = 2x+1 \Rightarrow x(f(x)-2) = f(x)+1 \Rightarrow x = \frac{f(x)+1}{f(x)-2}
f(x+1) ifadesindeki x yerine yazılabilecek f(x) tabanlı bir eşitlik elde etmek.
3
Bulunan x değerini f(x+1) ifadesinde yerine yazmak ve sadeleştirmek.
f(x+1)=2(f(x)+1f(x)−2)+3f(x)+1f(x)−2=2f(x)+2+3f(x)−6f(x)−2f(x)+1f(x)−2=5f(x)−4f(x)+1f(x+1) = \frac{2\left(\frac{f(x)+1}{f(x)-2}\right)+3}{\frac{f(x)+1}{f(x)-2}} = \frac{\frac{2f(x)+2+3f(x)-6}{f(x)-2}}{\frac{f(x)+1}{f(x)-2}} = \frac{5f(x)-4}{f(x)+1}
İstenen ifadeyi tamamen f(x) değişkenine bağlı hale getirmek.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun başka bir fonksiyon türünden ifadesi, değişken değiştirme ve denklem çözme becerilerinin birleşimidir.

İpuçları

1
Önce f(x+1)f(x+1) ifadesini rasyonel olarak yazın.
2
f(x)f(x) denkleminden xx'i çekip f(x)f(x) cinsinden bir karşılık bulun.
3
Bulduğunuz xx değerini f(x+1)f(x+1) ifadesindeki her xx yerine yazıp rasyonel toplamaları yapın.

Daha Fazla Pratik

Üslü fonksiyonlar için de benzer bir 'türünden yazma' sorusu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(x) fonksiyonunda x yerine kolay bir sayı (örneğin x=2) vererek f(2) ve f(3) değerlerini bulun. Seçeneklerde f(x) yerine f(2) yazarak hangisinin f(3) değerini verdiğini kontrol edin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu için,
f(2x+1)=4x−2x+1+7f(2^x + 1) = 4^x - 2^{x+1} + 7
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru cevap 10'dur. Çünkü fonksiyonun tanım kümesindeki 2x+12^x+1 ifadesini 4 yapacak değer 2x=32^x=3'tür. Eşitliğin sağ tarafındaki 4x4^x, (2x)2(2^x)^2 yani 32=93^2=9 olur; 2x+12^{x+1} ise 2⋅2x2 \cdot 2^x yani 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 olur. Sonuç 9−6+7=109 - 6 + 7 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içindeki ifadeyi istenen değere eşitleme
2x+1=4⇒2x=32^x + 1 = 4 \Rightarrow 2^x = 3
f(4)f(4) değerini bulmak için parantez içini 4 yapan xx değişkenine bağlı değeri belirlemeliyiz.
2
Eşitliğin sağ tarafını düzenleme
4x−2x+1+7=(2x)2−2⋅2x+74^x - 2^{x+1} + 7 = (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 7
İfadeyi, bulduğumuz 2x2^x değerini yerine yazabilecek şekilde üslü sayı kurallarıyla parçalamalıyız.
3
Değeri yerine yazma ve sonucu bulma
32−2⋅3+7=9−6+7=103^2 - 2 \cdot 3 + 7 = 9 - 6 + 7 = 10
2x2^x gördüğümüz yere 3 yazarak işlemi tamamlarız.

Anahtar Kavram

Değişken Dönüşümü Yoluyla Fonksiyon Değeri Bulma

İpuçları

1
Fonksiyonun içindeki 2x+12^x + 1 ifadesini istenen değer olan 4'e eşitleyerek başlayın.
2
xx değerini tam sayı olarak bulmaya çalışmayın; bunun yerine 2x2^x ifadesinin değerini (2x=32^x = 3) bulun ve sağ tarafta kullanın.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki 4x4^x ifadesini (2x)2(2^x)^2 ve 2x+12^{x+1} ifadesini 2⋅2x2 \cdot 2^x şeklinde yazarak 2x2^x yerine 3 koyun.

Alternatif Yöntem

Eğer logaritma biliniyorsa, 2x=3⇒x=log⁡232^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 dönüşümü yapılarak da çözülebilir, ancak değişken dönüşümü (blok yerleştirme) yöntemi KPSS için daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →

ff gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir fonksiyondur.

f(2x)+f(x+1)=9x−1f(2x) + f(x+1) = 9x - 1

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Fonksiyonun kuralı f(x) = 3x - 2 bulunduğundan, f(3) değeri 7'dir.
Doğrusal fonksiyon tanımı gereği f(x)=ax+bf(x) = ax + b alındığında, verilen denklemde xx'li terimlerin katsayıları a=3a=3'ü, sabit terimler ise b=−2b=-2'yi verir. Böylece f(x)=3x−2f(x)=3x-2 fonksiyonunda x=3x=3 yazıldığında sonuç 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun genel tanımını yaz.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b (burada aa ve bb birer gerçek sayıdır)
Soruda fonksiyonun 'doğrusal' olduğu belirtilmiştir, bu nedenle ax+bax+b formatı kullanılmalıdır.
2
Verilen eşitlikteki terimleri genel tanıma göre oluştur.
f(2x)=a(2x)+b=2ax+bf(2x) = a(2x) + b = 2ax + b ve f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+bf(x+1) = a(x+1) + b = ax + a + b
Fonksiyonun içine 2x2x ve x+1x+1 değerlerini yazarak ifadeleri genişletmek gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri topla ve verilen eşitliğe eşitle.
(2ax+b)+(ax+a+b)=3ax+(a+2b)=9x−1(2ax + b) + (ax + a + b) = 3ax + (a + 2b) = 9x - 1
Polinom eşitliği ilkesi gereği, xx'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.
4
Katsayıları karşılaştırarak aa ve bb değerlerini bul.
3a=9⇒a=33a = 9 \Rightarrow a = 3. Sabit terimler için: a+2b=−1⇒3+2b=−1⇒2b=−4⇒b=−2a + 2b = -1 \Rightarrow 3 + 2b = -1 \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2.
Bilinmeyen katsayıları bularak fonksiyonun kuralını oluşturmak.
5
Bulunan fonksiyon kuralında x=3x=3 değerini yerine yaz.
f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 olduğundan, f(3)=3(3)−2=9−2=7f(3) = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7.
Sonuç değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Polinom Eşitliği

İpuçları

1
Soruda fonksiyonun 'doğrusal' olduğu belirtilmiştir. Doğrusal bir fonksiyonun genel matematiksel ifadesi f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklindedir.
2
f(x)=ax+bf(x) = ax + b ifadesini kullanarak f(2x)f(2x) ve f(x+1)f(x+1) ifadelerini aa ve bb cinsinden yazıp toplayın.
3
Bulduğunuz toplam (3ax+a+2b)(3ax + a + 2b) ifadesini, eşitliğin sağ tarafındaki 9x−19x - 1 ile karşılaştırın. xx'in katsayısı 99'a, sabit terim ise −1-1'e eşit olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki f(x2)=3x2+5f(x^2) = 3x^2 + 5 gibi değişken değiştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek eleme yöntemi: x=1x=1 için eşitlik f(2)+f(2)=9(1)−1⇒2f(2)=8⇒f(2)=4f(2) + f(2) = 9(1)-1 \Rightarrow 2f(2)=8 \Rightarrow f(2)=4 olur. Seçeneklerdeki değerlerin oluşturduğu doğrunun (3, yy) noktasından ve (2, 4) noktasından geçip geçmediği kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →
ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
f(x−1)+f(2x)=9x−2f(x-1) + f(2x) = 9x - 2
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 252\frac{25}{2}

Cevap

Fonksiyonun kuralı f(x)=3x+12f(x) = 3x + \frac{1}{2} olarak bulunur ve buradan f(4)=252f(4) = \frac{25}{2} elde edilir.
Doğrusal fonksiyonun genel formu f(x)=ax+bf(x) = ax + b olarak kabul edilip verilen eşitlikte yerine yazıldığında, 3ax−a+2b=9x−23ax - a + 2b = 9x - 2 özdeşliği elde edilir. Burada xx li terimlerin katsayılarından a=3a=3 ve sabit terimlerin eşitliğinden b=1/2b=1/2 bulunur. Sonuç olarak f(4)=3⋅4+1/2=12,5f(4) = 3 \cdot 4 + 1/2 = 12,5 yani 25/225/2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ff doğrusal bir fonksiyon olduğu için kuralı f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde tanımlanır.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b
Doğrusal fonksiyonlar her zaman birinci dereceden bir polinom şeklindedir.
2
f(x−1)f(x-1) ve f(2x)f(2x) ifadeleri xx cinsinden yazılır.
f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+bf(x-1) = a(x-1) + b = ax - a + b ve f(2x)=a(2x)+b=2ax+bf(2x) = a(2x) + b = 2ax + b
Verilen eşitlikte yerine koyabilmek için temel fonksiyon değerleri oluşturulur.
3
Bu iki ifade toplanarak verilen 9x−29x - 2 ifadesine eşitlenir.
(ax−a+b)+(2ax+b)=3ax−a+2b=9x−2(ax - a + b) + (2ax + b) = 3ax - a + 2b = 9x - 2
Eşitliğin her iki tarafındaki katsayıların birbirine eşit olması gerekir.
4
Katsayı eşitlemesi yapılarak aa ve bb değerleri bulunur.
3a=9⇒a=33a = 9 \Rightarrow a = 3 ve −3+2b=−2⇒2b=1⇒b=12-3 + 2b = -2 \Rightarrow 2b = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{2}
xx li terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşitlenir.
5
Fonksiyon kuralında x=4x = 4 yazılır.
f(4)=3(4)+12=12+0,5=12,5=252f(4) = 3(4) + \frac{1}{2} = 12 + 0,5 = 12,5 = \frac{25}{2}
İstenen değer fonksiyon kuralında yerine konularak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyonlarda katsayı eşitleme yöntemi ile değer bulma.

İpuçları

1
Doğrusal fonksiyonların f(x)=ax+bf(x) = ax + b biçiminde olduğunu hatırlayın.
2
f(x−1)f(x-1) ifadesini bulmak için ax+bax + b kalıbında xx gördüğünüz yere (x−1)(x-1) yazın.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki xx li terimleri ve sabit sayıları birbirine eşitleyerek aa ve bb bilinmeyenlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla f(x)+f(x+1)=4x+6f(x) + f(x+1) = 4x + 6 eşitliğini sağlayan fonksiyon için f(2)f(2) değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşitlikte xx yerine farklı değerler vererek ff değerleri arasında bir sistem kurulabilir. Örneğin x=1x=1 için f(0)+f(2)=7f(0) + f(2) = 7 ve x=0x=0 için f(−1)+f(0)=−2f(-1) + f(0) = -2 denklemleri elde edilir, ancak doğrusal fonksiyon tanımını kullanmak daha hızlı sonuç verir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x)+2f(1x)=3xf(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1 değeridir
Verilen fonksiyonel denklemde xx ve 1/x1/x birbirine bağlı olduğu için, x=2x=2 ve x=1/2x=1/2 değerleri için iki ayrı denklem kurulur. Bu denklemler ortak çözüldüğünde doğru cevap olan -1 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte önce istenen değer olan x=2x=2 yazılır.
f(2)+2f(1/2)=3(2)⇒f(2)+2f(1/2)=6f(2) + 2f(1/2) = 3(2) \Rightarrow f(2) + 2f(1/2) = 6 (I. Denklem)
Fonksiyonun değerini bulmak için ilk adımda doğrudan değişken yerine koyma işlemi yapılır.
2
Eşitlikte bilinmeyen diğer terim olan f(1/2)f(1/2)'yi yok etmek için bu sefer x=1/2x=1/2 yazılır.
f(1/2)+2f(2)=3(1/2)⇒f(1/2)+2f(2)=1,5f(1/2) + 2f(2) = 3(1/2) \Rightarrow f(1/2) + 2f(2) = 1,5 (II. Denklem)
İki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturmak için x yerine tersi olan değer yazılır.
3
II. Denklemden f(1/2)f(1/2) çekilir veya yok etme metodu uygulanır.
II. denklemi -2 ile çarpalım: −2f(1/2)−4f(2)=−3-2f(1/2) - 4f(2) = -3. Bunu I. denklemle toplayalım: (f(2)−4f(2))+(2f(1/2)−2f(1/2))=6−3(f(2) - 4f(2)) + (2f(1/2) - 2f(1/2)) = 6 - 3.
Sistem çözümü yapılarak istenmeyen terimden kurtulunur.
4
Elde edilen son denklem çözülerek f(2)f(2) bulunur.
−3f(2)=3⇒f(2)=−1-3f(2) = 3 \Rightarrow f(2) = -1
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bu soru tipinde f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x) içeren denklemlerde, xx yerine bir değer ve onun çarpmaya göre tersi yazılarak bir denklem sistemi elde edilir ve çözülür.

İpuçları

1
Eşitlikte önce xx gördüğünüz yere 22 yazarak birinci denklemi oluşturun.
2
Oluşan denklemde f(1/2)f(1/2) ifadesi karşınıza çıkacaktır. Bunu bulmak veya yok etmek için, bu sefer başlangıçtaki eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazın.
3
Elinizde f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) bilinmeyenlerine sahip iki denklem oldu. Yok etme metodunu kullanarak f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

f(x)+f(−x)=x2+2xf(x) + f(-x) = x^2 + 2x gibi simetrik ilişki içeren fonksiyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için xx ve 1/x1/x yazılarak genel f(x)f(x) kuralı bulunabilir: f(x)=2x−xf(x) = \frac{2}{x} - x. Buradan f(2)=1−2=−1f(2) = 1 - 2 = -1 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
2f(x)+f(−x)=3x2+x+62f(x) + f(-x) = 3x^2 + x + 6
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Soruda verilen fonksiyonel eşitlikte f(1)f(1) değerini bulmak için xx yerine hem 11 hem de −1-1 yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. İlk denklem 2f(1)+f(−1)=102f(1) + f(-1) = 10, ikinci denklem 2f(−1)+f(1)=82f(-1) + f(1) = 8 olur. Bu sistem çözüldüğünde doğru cevap 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x yerine 1 yazarak f(1) ve f(-1) içeren birinci denklemi oluşturun.
2f(1)+f(−1)=3(1)2+1+6⇒2f(1)+f(−1)=102f(1) + f(-1) = 3(1)^2 + 1 + 6 \Rightarrow 2f(1) + f(-1) = 10
Fonksiyonun kuralı her x değeri için geçerli olduğundan, istenen değeri bulmak için x=1 kullanılır.
2
Eşitlikte x yerine -1 yazarak f(-1) ve f(1) içeren ikinci bir denklem oluşturun.
2f(−1)+f(1)=3(−1)2+(−1)+6⇒2f(−1)+f(1)=3−1+6=82f(-1) + f(1) = 3(-1)^2 + (-1) + 6 \Rightarrow 2f(-1) + f(1) = 3 - 1 + 6 = 8
Bilinmeyen f(-1) terimini bulmak veya yok etmek için x'in zıt işaretlisi (-1) kullanılır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek f(1) değerini bulun.
1. Denklem: 2f(1)+f(−1)=102f(1) + f(-1) = 10
2. Denklem: f(1)+2f(−1)=8f(1) + 2f(-1) = 8

İkinci denklemi -2 ile çarpıp birinciyle toplayalım:
−2f(1)−4f(−1)=−16-2f(1) - 4f(-1) = -16

Yanlış yok etme yöntemi yerine f(-1)'i çekelim: f(−1)=10−2f(1)f(-1) = 10 - 2f(1).
İkinci denklemde yerine koyalım:
f(1)+2(10−2f(1))=8f(1) + 2(10 - 2f(1)) = 8
f(1)+20−4f(1)=8f(1) + 20 - 4f(1) = 8
−3f(1)=−12⇒f(1)=4-3f(1) = -12 \Rightarrow f(1) = 4
Sistem çözümü ile istenmeyen f(-1) yok edilerek f(1) bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1
Eşitlikte x gördüğünüz yere 1 yazarak f(1) ve f(-1) içeren bir denklem elde etmeyi deneyin.
2
Sadece x=1 yazmak yetmeyecektir; bilinmeyen f(-1)'i bulmak veya yok etmek için x gördüğünüz yere -1 yazarak ikinci bir denklem daha oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (birinde 2f(1)+f(-1)=10, diğerinde f(1)+2f(-1)=8) bir denklem sistemi gibi düşünün ve yok etme metodunu kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen f(1/x) + 2f(x) = ... tipindeki soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−ax+5f(x) = x^2 - ax + 5
biçiminde tanımlanıyor.
f(1)=f(3)f(1) = f(3) olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Fonksiyonun verilen iki farklı noktadaki değerlerinin eşitliği (f(1)=f(3)f(1)=f(3)) kullanılarak fonksiyonun bilinmeyen katsayısı olan aa değeri 4 olarak bulunur. Bu katsayı yerine yazıldığında fonksiyonun tam kuralı f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 olur. İstenen f(2)f(2) değeri ise 22−4(2)+5=12^2 - 4(2) + 5 = 1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)f(1) ve f(3)f(3) değerlerini fonksiyon kuralında yerine yazarak birbirine eşitleyin.
12−a(1)+5=32−a(3)+5⇒6−a=14−3a1^2 - a(1) + 5 = 3^2 - a(3) + 5 \Rightarrow 6 - a = 14 - 3a
f(1)=f(3)f(1) = f(3) eşitliğini kullanarak bilinmeyen aa katsayısını bulmak gerekir.
2
Oluşan birinci dereceden denklemi çözerek aa değerini bulun.
3a−a=14−6⇒2a=8⇒a=43a - a = 14 - 6 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4
Fonksiyonun tam kuralını belirlemek için katsayıyı bulmak zorunludur.
3
a=4a = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(x)=x2−4x+5⇒f(2)=22−4(2)+5=4−8+5=1f(x) = x^2 - 4x + 5 \Rightarrow f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için değişken yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve bilinmeyen katsayıyı belirleme

İpuçları

1
Önce f(1)f(1) ve f(3)f(3) ifadelerini açıkça yazıp birbirine eşitleyerek işe başlayın.
2
6−a=14−3a6 - a = 14 - 3a denklemini çözerek bilinmeyen aa katsayısını bulun.
3
Bulduğunuz a=4a = 4 değerini f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 kuralında yerine yazıp x=2x = 2 için sonucu hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde bir fonksiyonun bir sabit değere eşit olduğu durumlarda katsayı bulma soruları çözerek pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) grafiği simetriktir. f(1)=f(3)f(1) = f(3) ise fonksiyonun simetri ekseni x=(1+3)/2=2x = (1+3)/2 = 2 doğrusudur. Bu durumda f(2)f(2) değeri parabolün tepe noktasının ordinatıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki