Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x)={x−5,x>40f(f(x+6)),x≤40f(x) = \begin{cases} x - 5, & x > 40 \\ f(f(x + 6)), & x \leq 40 \end{cases}

Buna göre, f(24)f(24) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    19
  2. B
    35
  3. 36Cevap
  4. D
    40
  5. E
    41

Cevap

Fonksiyonun tanımı gereği oluşan zincirleme hesaplamalar sonucunda değer 36 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon McCarthy 91 fonksiyonuna benzer bir yapıdadır. x>40x > 40 için f(x)=x−5f(x) = x-5 kuralı, x≤40x \leq 40 için ise f(f(x+6))f(f(x+6)) kuralı geçerlidir. Kritik nokta x=41x=41 değeridir; f(41)=36f(41)=36 olur. x=40x=40 için hesaplandığında f(40)=f(f(46))=f(41)=36f(40)=f(f(46))=f(41)=36 bulunur. Benzer şekilde geriye doğru gidildiğinde, örneğin f(39)=f(f(45))=f(40)=36f(39)=f(f(45))=f(40)=36 olduğu görülür. Bu zincirleme yapı, 40 ve altındaki tam sayıların sonucunun 36'ya sabitlendiğini gösterir. Dolayısıyla f(24)=36f(24)=36 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun davranışını anlamak için sınır değeri olan 40 ve üzerindeki değerleri inceleyelim.
f(41)=41−5=36f(41) = 41 - 5 = 36.
x>40x > 40 olduğu için üstteki kural (x−5x-5) uygulanır.
2
x=40x=40 için fonksiyon değerini hesaplayalım.
f(40)=f(f(46))f(40) = f(f(46)). İçerideki f(46)=46−5=41f(46) = 46 - 5 = 41 olduğundan, f(40)=f(41)=36f(40) = f(41) = 36 olur.
x≤40x \leq 40 kuralı gereği iç içe fonksiyon kullanılır.
3
Bir alt değeri, x=39x=39 için hesaplayalım.
f(39)=f(f(45))f(39) = f(f(45)). f(45)=40f(45) = 40 olduğundan, f(39)=f(40)f(39) = f(40). Önceki adımdan f(40)=36f(40)=36 bulmuştuk, yani f(39)=36f(39)=36.
Geriye doğru gidildikçe sonucun sabitlendiği görülür.
4
Bu örüntüyü f(24)f(24) değerine kadar genişletelim.
f(24)=f(f(30))f(24) = f(f(30)). Eğer f(30)=36f(30)=36 ise sonuç 36 olacaktır. Zincirleme kural gereği 40 ve altındaki sayılar birbirine bağlanarak en sonunda f(41)f(41) değerine, yani 36'ya ulaşır.
Tümevarım mantığıyla x≤41x \leq 41 için f(x)=36f(x)=36 olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Parçalı ve rekürsif (yinelemeli) fonksiyonlarda değer bulma ve örüntü takibi.

İpuçları

1
Önce xx değerinin 40'tan büyük olduğu bir durumu, örneğin f(41)f(41) değerini hesaplayın.
2
f(40)f(40) değerini bulmak için tanımı yerine koyun: f(40)=f(f(46))f(40) = f(f(46)). Önce parantez içini çözün.
3
f(40)f(40), f(39)f(39), f(38)f(38) gibi değerlerin hepsi birbirine bağlıdır ve sonunda f(41)f(41) değerine, yani 36'ya ulaşırlar.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda fakat farklı sınırlara sahip f(x)f(x) fonksiyonları tanımlayarak sabit noktayı bulma alıştırması yapın.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru