Examkin

Soru

Zorluk: ZorHareket Problemleri

Sabit VkV_k hızıyla ilerleyen LL metre uzunluğundaki bir tören kortejinin en arkasında bulunan bir görevli, kortejle aynı yönde ve sabit VgV_g hızıyla koşarak kortejin en önüne ulaşmış, hiç duraklamadan aynı hızla geri dönerek tekrar kortejin en arkasına gelmiştir.

Bu hareket esnasında kortej kendi uzunluğu (LL) kadar yol aldığına göre, görevlinin hızının kortejin hızına oranı (VgVk\frac{V_g}{V_k}) kaçtır?

  1. A
    2\sqrt{2}
  2. B
    22
  3. 1+21 + \sqrt{2}Cevap
  4. D
    1+31 + \sqrt{3}
  5. E
    33

Cevap

1+21 + \sqrt{2}
Görevlinin kortejin başına gidip dönmesi problemi bir 'bağıl hız' problemidir. Kortej VkV_k hızıyla giderken, görevli VgV_g hızıyla hareket etmektedir. Görevli öne doğru giderken korteje göre hızı (Vg−Vk)(V_g - V_k), arkaya dönerken (Vg+Vk)(V_g + V_k) olur. Toplam sürede kortejin aldığı yol LL olduğundan, kurulan LVg−Vk+LVg+Vk=LVk\frac{L}{V_g - V_k} + \frac{L}{V_g + V_k} = \frac{L}{V_k} eşitliği çözüldüğünde oran 1+21+\sqrt{2} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hareketin iki aşamasını (gidiş ve dönüş) modelle.
Görevli öne giderken bağıl hız Vg−VkV_g - V_k, arkaya dönerken bağıl hız Vg+VkV_g + V_k olur.
Aynı yönde hareketlerde hızlar farkı, zıt yönde hareketlerde hızlar toplamı esas alınır.
2
Zaman denklemini kur.
Gidiş süresi t1=LVg−Vkt_1 = \frac{L}{V_g - V_k}, dönüş süresi t2=LVg+Vkt_2 = \frac{L}{V_g + V_k}. Toplam süre t=t1+t2t = t_1 + t_2.
Yol = Hız x Zaman formülü uygulanır.
3
Kortejin hareketini denkleme dahil et.
Kortej bu sürede LL kadar yol almıştır: L=Vk⋅(t1+t2)L = V_k \cdot (t_1 + t_2).
Soruda verilen 'kortej kendi boyu kadar yol aldı' bilgisi kullanılır.
4
Denklemleri birleştir ve sadeleştir.
L=Vk(LVg−Vk+LVg+Vk)L = V_k \left( \frac{L}{V_g - V_k} + \frac{L}{V_g + V_k} \right). LL'ler sadeleşir: 1=Vk(2VgVg2−Vk2)1 = V_k \left( \frac{2V_g}{V_g^2 - V_k^2} \right).
Payda eşitleme ve cebirsel sadeleştirme yapılır.
5
Elde edilen denklemi çöz.
Vg2−2VkVg−Vk2=0V_g^2 - 2V_k V_g - V_k^2 = 0. Her iki tarafı Vk2V_k^2'ye bölüp x=VgVkx = \frac{V_g}{V_k} dersek: x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0. Kökler x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}. Hız negatif olamayacağı için x=1+2x = 1 + \sqrt{2}.
İkinci dereceden denklem çözüm formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Bağıl Hareket ve Hareket Problemleri

İpuçları

1
Görevli kortejin önüne giderken, kortej de hareket ettiği için görevlinin korteje göre hızı (bağıl hızı) azalır; geri dönerken ise artar.
2
Gidiş süresini bulmak için 'Yol / (Hız Farkı)', dönüş süresini bulmak için 'Yol / (Hız Toplamı)' formüllerini kullanın. Bu iki sürenin toplamı, kortejin L kadar yol alması için geçen süreye eşittir.
3
Elde ettiğiniz denklemde L'leri sadeleştirin ve Vg/Vk oranına 'x' diyerek ikinci dereceden bir denklem (x² - 2x - 1 = 0) elde etmeye çalışın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'Nehirde akıntıya karşı ve akıntı yönünde hareket eden yüzücü' problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: Kortej hızına (Vk) 1 birim deyip, kortej boyuna (L) uygun bir sayı vererek (örneğin 1 birim) denklem çözülebilir, ancak sonuç yine köklü çıkacağı için denklem kurmak en garantisidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru