Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorHareket Problemleri

Sabit uzunluktaki dairesel bir test parkurunda, hızları sabitlemiş X, Y ve Z adlı üç farklı otonom araç hareket halindedir. X ve Y araçları parkur üzerinde saat yönünde, Z aracı ise saat yönünün tersine doğru sürekli hareket etmektedir.

Araçların parkur üzerindeki karşılaşma süreleri ile ilgili şu veriler tespit edilmiştir:
* Z aracı, X aracı ile her 15 dakikada bir karşılaşmaktadır.
* Z aracı, Y aracı ile her 20 dakikada bir karşılaşmaktadır.

Eğer X ve Y araçları (hızlarını değiştirmeden) birbirlerine zıt yönde hareket etselerdi, her 12 dakikada bir karşılaşacakları hesaplanmıştır.

Buna göre, araçlar mevcut hareket yönlerini korurken; X aracı Y aracına kaç dakikada bir tur bindirir?

  1. A
    30
  2. B
    45
  3. C
    48
  4. 60Cevap
  5. E
    72

Cevap

X aracı Y aracına her 60 dakikada bir tur bindirir.
Doğru cevap, üç aracın hızları arasındaki ilişkiyi kuran denklem sisteminin çözümünden gelir. X ve Z'nin bağıl hızı L/15L/15, Y ve Z'nin L/20L/20, X ve Y'nin (zıt yön varsayımıyla) L/12L/12'dir. Bu üç hızın toplamı L/10L/10 bulunur. Buradan X'in hızı L/20L/20, Y'nin hızı L/30L/30 olarak çekilir. Aynı yönde giden X'in Y'ye tur bindirmesi için hız farkına (L/60L/60) bakılır. L/(L/60)L / (L/60) işlemi sonucunda 60 dakika bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi matematiksel modele dökebilmek için pistin uzunluğuna LL, araçların hızlarına sırasıyla VxV_x, VyV_y ve VzV_z değişkenlerini ata.
Pist = LL; Hızlar = Vx,Vy,VzV_x, V_y, V_z.
Sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için değişken tanımlaması gereklidir.
2
Verilen karşılaşma sürelerini kullanarak hız denklemlerini oluştur. Zıt yönlü hareketlerde hızların toplandığını hatırla.
1) Vx+Vz=L15V_x + V_z = \frac{L}{15}
2) Vy+Vz=L20V_y + V_z = \frac{L}{20}
3) Vx+Vy=L12V_x + V_y = \frac{L}{12} (Hipotez durumu)
Zıt yönlü hareketlerde karşılaşma süresi t=YolV1+V2t = \frac{Yol}{V_1 + V_2} formülüyle bulunur.
3
Elde edilen üç denklemi taraf tarafa toplayarak hızların toplamını bul.
2(Vx+Vy+VzV_x + V_y + V_z) = L(115+120+112)L(\frac{1}{15} + \frac{1}{20} + \frac{1}{12})
Payda eşitle (60'ta): 460+360+560=1260=15\frac{4}{60} + \frac{3}{60} + \frac{5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}
2(Vx+Vy+VzV_x + V_y + V_z) = L5⇒Vx+Vy+Vz=L10\frac{L}{5} \Rightarrow V_x + V_y + V_z = \frac{L}{10}
Üç bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için önce genel toplamı bulmak en pratik yoldur.
4
Tur bindirme süresi için gerekli olan VxV_x ve VyV_y değerlerini (veya farklarını) sistemden çek. VxV_x için (Toplam - 2. denklem), VyV_y için (Toplam - 1. denklem) işlemini yap.
Vx=L10−L20=L20V_x = \frac{L}{10} - \frac{L}{20} = \frac{L}{20}
Vy=L10−L15=L30V_y = \frac{L}{10} - \frac{L}{15} = \frac{L}{30}
Her bir aracın hızını (pist uzunluğu cinsinden) bularak aralarındaki hız farkını hesaplayabiliriz.
5
Aynı yönde giden araçlarda tur bindirme süresini (tturt_{tur}) hesapla. Formül: ttur=LVx−Vyt_{tur} = \frac{L}{V_x - V_y}.
Hız farkı: L20−L30=3L−2L60=L60\frac{L}{20} - \frac{L}{30} = \frac{3L - 2L}{60} = \frac{L}{60}
ttur=LL/60=60t_{tur} = \frac{L}{L/60} = 60 dakika.
Hızlı olan aracın yavaş olanı yakalaması (tur bindirmesi) için kat etmesi gereken fazladan mesafe tam bir pist boyudur.

Anahtar Kavram

Dairesel Pistte Bağıl Hareket ve Denklem Sistemleri

İpuçları

1
Sorudaki süreleri (15, 20, 12) kullanarak her bir karşılaşma durumu için hız denklemleri yazın. Pistin uzunluğuna LL diyebilirsiniz.
2
Zıt yönde karşılaşmalarda hızlar toplanır (V1+V2=L/tV_1 + V_2 = L/t). Elinizde Vx+VzV_x+V_z, Vy+VzV_y+V_z ve Vx+VyV_x+V_y değerleri var. Bu üç denklemi taraf tarafa toplayın.
3
Üç denklemin toplamından 2(Vx+Vy+Vz)2(V_x+V_y+V_z) değerini bulacaksınız. Buradan tek tek VxV_x ve VyV_y'yi çekip, aynı yönde hareket (tur bindirme) formülü olan t=L/(Vx−Vy)t = L / (V_x - V_y) bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, nehir problemlerinde akıntı hızının hem gidiş hem dönüş süresine etkisini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pist uzunluğuna sayısal bir değer vererek (örneğin 12, 15 ve 20'nin ortak katı olan 60 veya 120 metre) işlem yapmak, kesirlerle uğraşmayı azaltarak çözümü hızlandırabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru