Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Analitik düzlemde, x−2y+4=0x - 2y + 4 = 0 doğrusunun A(1,−2)A(1, -2) noktasına göre simetriği olan doğrunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

  1. A
    -14
  2. B
    -4
  3. C
    5
  4. D
    10
  5. 14Cevap

Cevap

Aranan apsis değeri 14'tür.
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği kendisine paraleldir. A(1,−2)A(1, -2) noktası, orijinal doğru ile simetrik doğrunun tam ortasında yer alır. Orijinal doğrunun denklem değeri AA noktasında 99 ise, simetrik doğrunun değeri −9-9 olmalıdır. Buradan simetrik doğru x−2y−14=0x - 2y - 14 = 0 bulunur. y=0y=0 için x=14x=14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun ve simetri merkezinin özelliklerini belirle.
Doğru: d1:x−2y+4=0d_1: x - 2y + 4 = 0, Simetri Merkezi: A(1,−2)A(1, -2).
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paralel olan başka bir doğrudur.
2
Simetrik doğru (d2d_2) denkleminin genel formunu yaz.
d2:x−2y+k=0d_2: x - 2y + k = 0
Paralel doğruların xx ve yy katsayıları aynıdır (veya orantılıdır), sadece sabit terim (kk) değişir.
3
Simetri merkezi A(1,−2)A(1, -2) noktasının d1d_1 ve d2d_2 doğrularına eşit uzaklıkta (orta nokta) olması kuralını kullan.
d1(A)+d2(A)=0d_1(A) + d_2(A) = 0 veya pratik yol ile sabit terim geçişi hesapla.
Nokta değerini d1d_1'de yerine koy: 1−2(−2)+4=91 - 2(-2) + 4 = 9. AA noktası orta nokta olduğundan, d2d_2'de yerine koyduğumuzda −9-9 sonucunu vermelidir (zıt işaretli).
4
kk sabitini hesapla.
1−2(−2)+k=−9⇒1+4+k=−9⇒5+k=−9⇒k=−141 - 2(-2) + k = -9 \Rightarrow 1 + 4 + k = -9 \Rightarrow 5 + k = -9 \Rightarrow k = -14.
Denklemi sağlayacak sabiti bulmak için.
5
Elde edilen d2d_2 doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı (y=0y=0) bul.
x−2(0)−14=0⇒x=14x - 2(0) - 14 = 0 \Rightarrow x = 14.
Soruda apsis (x değeri) istenmektedir.

Anahtar Kavram

Noktaya Göre Simetri ve Doğru Demeti

İpuçları

1
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paraleldir. Yani eğimleri eşittir.
2
Simetri merkezi olan AA noktası, orijinal doğru üzerindeki herhangi bir nokta ile simetrik doğru üzerindeki karşılığının orta noktasıdır.
3
Orijinal denklemde A(1,−2)A(1, -2) koordinatlarını yerine koyduğunuzda çıkan sonucun ters işaretlisi, simetrik denklemde AA noktasının vereceği sonuç olmalıdır.

Alternatif Yöntem

Orijinal doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilir (örneğin y=0y=0 için x=−4x=-4, P(−4,0)P(-4,0)). Bu noktanın A(1,−2)A(1,-2) noktasına göre simetriği alınır (P′P'). P′P' noktasından geçen ve eğimi orijinal doğruyla aynı (m=1/2m=1/2) olan doğru denklemi yazılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru