Bir düzlemde yer alan bir çember ile bir doğru, iki farklı noktada kesişmektedir. Bu iki kesişim noktası haricinde, çember üzerinde 4, doğru üzerinde ise 3 farklı nokta daha işaretlenmiştir.
Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?
- A70
- 74Cevap
- C79
- D83
- E84
Cevap
Verilen noktalar kullanılarak toplam 74 farklı üçgen çizilebilir.
Toplam 9 nokta vardır. Tüm üçlü seçimler C(9,3) = 84'tür. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. Doğru üzerinde 2'si kesişim, 3'ü harici olmak üzere toplam 5 nokta vardır. Bu 5 noktadan seçilen üçlüler (C(5,3)=10) üçgen oluşturmaz. Çember üzerindeki noktalar ise kendi aralarında doğrusal değildir. Bu nedenle doğru cevap 84 - 10 = 74 olarak bulunur.
Adım Adım Çözüm
Anahtar Kavram
Doğrusal olmayan 3 nokta bir üçgen belirtir. n tane noktadan C(n,3) kadar üçlü seçilir; ancak doğrusal olan k tane nokta varsa C(k,3) kadarı üçgen oluşturmaz ve çıkarılır.
İpuçları
1
Toplam nokta sayısını hesaplarken kesişim noktalarını, çember üzerindeki noktaları ve doğru üzerindeki noktaları toplayın.
2
Önce tüm noktalardan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonları hesaplayın (C(n,3)).
3
Bulduğunuz tüm kombinasyonlardan, aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) noktaların oluşturduğu kombinasyonları çıkarın.
Daha Fazla Pratik
Benzer bir soruyu, birbirine paralel iki doğru üzerindeki noktalarla çözmeyi deneyin.
Alternatif Yöntem
Doğrudan geçerli üçgenleri toplayarak: (Çemberden 2 nokta + Doğrudan 1 nokta) + (Çemberden 1 nokta + Doğrudan 2 nokta) + (Çemberden 3 nokta). Not: Kesişim noktaları her iki kümeye de dahil edilebileceği için bu yöntem daha karmaşık olabilir; küme ayrımına dikkat edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 0s