Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=10|AB| = 10 cm ve ∣AC∣=14|AC| = 14 cm olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarına ait kenarortay uzunluğu ∣AD∣=x|AD| = x cm'dir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğuna göre, xx'in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    25
  3. 33Cevap
  4. D
    42
  5. E
    63

Cevap

x'in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı 33'tür.
Soruda verilen kenarortay ve açı şartı için iki koşul incelenmelidir. 1) Üçgen eşitsizliği: Kenarortayın 2 katı, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür. Yani 4<2x<244 < 2x < 24 olup 2<x<122 < x < 12 bulunur. 2) Açı şartı: AA açısı geniş (>90∘>90^\circ) olduğundan, kenarortayı 'gören' hayali üçgendeki açı dar (<90∘<90^\circ) olur. Bu, (2x)2<102+142(2x)^2 < 10^2 + 14^2 eşitsizliğini verir. Buradan x2<74x^2 < 74 ve x≤8x \leq 8 (tamsayı olarak) bulunur. Her iki şartı sağlayan değerler 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir ve toplamları 33'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay formülünü veya paralelkenar yöntemini kullanarak üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.
ABCABC üçgenini paralelkenara tamamlarsak oluşan yeni üçgenin kenarları 10, 14 ve 2x2x olur. Üçgen eşitsizliğinden: ∣14−10∣<2x<14+10⇒4<2x<24⇒2<x<12|14 - 10| < 2x < 14 + 10 \Rightarrow 4 < 2x < 24 \Rightarrow 2 < x < 12.
Kenarortay uzunluğunun temel varoluş aralığını bulmak için.
2
Geniş açı (m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ) şartını kenarortay uzunluğuna uyarla.
m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ ise, paralelkenarda AA açısına komşu olan açı dar açı (<90∘< 90^\circ) olur. Bu durumda (2x)2<102+142(2x)^2 < 10^2 + 14^2 eşitsizliği sağlanmalıdır. 4x2<100+196⇒4x2<296⇒x2<744x^2 < 100 + 196 \Rightarrow 4x^2 < 296 \Rightarrow x^2 < 74.
Açı-kenar bağıntısını kullanarak üst sınırı daraltmak için.
3
Karekök alarak üst sınırın yaklaşık değerini bul.
x<74x < \sqrt{74} olduğundan ve 64=8\sqrt{64}=8, 81=9\sqrt{81}=9 olduğundan, xx yaklaşık 8.6'dan küçüktür (x≤8x \leq 8).
Tamsayı değerlerini belirleyebilmek için.
4
İki eşitsizliği birleştirip çözüm kümesini ve toplamı bul.
Birinci adımdan x>2x > 2, üçüncü adımdan x≤8x \leq 8. Ortak aralık: 2<x≤82 < x \leq 8. Tamsayılar: {3,4,5,6,7,8}\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}. Toplam: 3+4+5+6+7+8=333+4+5+6+7+8 = 33.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Üçgende kenarortay uzunluğu ve geniş açı durumunda kenar-bağıntı ilişkisi (Paralelkenar metodu).

İpuçları

1
Kenarortay uzunluğu sorularında, kenarortayı iki katı kadar uzatarak bir paralelkenar oluşturmayı deneyin.
2
Oluşan paralelkenarda kenarlar 10, 14 ve köşegen 2x2x olacaktır. AA açısı 90∘90^\circ'den büyükse, bu köşegeni gören açı 90∘90^\circ'den küçük olmalıdır.
3
Dar açılı üçgen kuralını (a2<b2+c2a^2 < b^2 + c^2) uygulayın: (2x)2<102+142(2x)^2 < 10^2 + 14^2. Ayrıca üçgen eşitsizliğini (14−10<2x<14+1014-10 < 2x < 14+10) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, AA açısı <90∘< 90^\circ (dar açı) şartı ile çözerek çözüm kümesinin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Formül yöntemi: 2x2=b2+c2−a2/22x^2 = b^2 + c^2 - a^2/2. Geniş açı şartı (a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2) kullanılarak a2a^2 yerine sınır değeri yazılıp xx için eşitsizlik elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru