Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

Bir ABCDABCD dörtgeninde, m(DAB^)=60∘m(\widehat{DAB}) = 60^\circ ve m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ olduğu bilinmektedir. Kenar uzunlukları ∣AD∣=4|AD| = 4 cm, ∣AB∣=10|AB| = 10 cm ve ∣BC∣=3|BC| = 3 cm olarak verildiğine göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    39\sqrt{39}
  2. B
    41\sqrt{41}
  3. 43\sqrt{43}Cevap
  4. D
    77
  5. E
    127\sqrt{127}

Cevap

Dörtgenin kenarlarını uzatarak oluşturulan eşkenar üçgen yardımıyla hesaplanan ∣CD∣|CD| değeri 43\sqrt{43} santimetredir.
Dörtgenin AA ve BB köşelerindeki 60∘60^\circ'lik açılar, kenarlar uzatıldığında bir eşkenar üçgen oluşacağını gösterir. Taban kenarı 10 cm olduğundan, oluşturulan büyük üçgenin diğer kenarları da 10 cm olur. Verilen 4 cm ve 3 cm'lik kısımlar çıkarıldığında, tepe noktasında oluşan küçük üçgenin kenarları 6 cm ve 7 cm olarak bulunur. Aradaki açı 60∘60^\circ olduğu için Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=62+72−2⋅6⋅7⋅12=43|CD| = \sqrt{6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{43} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ADAD ve BCBC kenarlarını dörtgenin yukarısında kesişecek şekilde uzatın ve kesişim noktasına KK deyin.
Taban açıları m(A^)=60∘m(\widehat{A}) = 60^\circ ve m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ olduğundan, oluşan KABKAB üçgeni bir eşkenar üçgendir.
Bir üçgenin iki açısı 60∘60^\circ ise üçüncü açısı da 60∘60^\circ olur ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşitlenir.
2
Oluşan büyük KABKAB eşkenar üçgeninin kenar uzunluğunu kullanarak üstteki küçük KDCKDC üçgeninin kenarlarını bulun.
∣KA∣=∣KB∣=∣AB∣=10|KA| = |KB| = |AB| = 10 cm'dir. Buradan ∣KD∣=10−4=6|KD| = 10 - 4 = 6 cm ve ∣KC∣=10−3=7|KC| = 10 - 3 = 7 cm bulunur.
Büyük üçgenin bir kenarı 10 cm olduğundan, diğer kenarlar da 10 cm olmalıdır.
3
KDCKDC üçgeninde, 60∘60^\circ'lik tepe açısını kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın.
∣CD∣2=62+72−2⋅6⋅7⋅cos⁡(60∘)=36+49−42=43|CD|^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 49 - 42 = 43. Buradan ∣CD∣=43|CD| = \sqrt{43} cm bulunur.
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen bir üçgende üçüncü kenarı bulmak için c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı (60∘60^\circ) dörtgen sorularında şekli eşkenar üçgene tamamlama stratejisi.

İpuçları

1
Bu dörtgeni bilinen özel bir üçgene tamamlamayı deneyin. 60∘60^\circ açıları size hangi üçgeni hatırlatıyor?
2
ADAD ve BCBC kenarlarını yukarı doğru uzatırsanız, taban açıları 60∘60^\circ olan bir üçgen elde edersiniz. Bu üçgenin tepe açısı kaç derece olur?
3
Oluşan büyük üçgen eşkenardır ve bir kenarı 10 cm'dir. Tepe noktasında oluşan küçük üçgenin kenarlarını (10-4) ve (10-3) olarak bulup Kosinüs Teoremi uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, açılardan birinin 120∘120^\circ olduğu durumlarda dış açıdan giderek eşkenar üçgene tamamlama sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

CC ve DD köşelerinden ABAB kenarına dikmeler indirerek (H1H_1 ve H2H_2), oluşan dik üçgenler ve ortadaki dikdörtgen yardımıyla da çözüm yapılabilir, ancak bu yöntem daha uzun işlem gerektirir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru