Examkin

Soru

Zorluk: ZorAlt Küme

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde 11 elemanı bulunur, 22 elemanı bulunmaz ve kümenin eleman sayısı en az 44 olur?

  1. A
    6
  2. B
    10
  3. 16Cevap
  4. D
    26
  5. E
    32

Cevap

16
İstenen alt kümede 11 mutlaka bulunacak ve 22 bulunmayacaktır. Geriye kalan {3,4,5,6,7}\{3, 4, 5, 6, 7\} kümesinden (5 eleman), alt kümenin toplam eleman sayısını en az 4 yapmak için, mevcut olan 11 elemanının yanına en az 3 eleman daha seçmemiz gerekir. Bu durumlar: 3 eleman seçimi ((53)=10\binom{5}{3}=10), 4 eleman seçimi ((54)=5\binom{5}{4}=5) ve 5 eleman seçimi ((55)=1\binom{5}{5}=1) şeklindedir. Toplam: 10+5+1=1610+5+1=16.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeyi ve koşulları analiz et
Küme A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}. İstenen alt küme SS olsun. Koşullar: 1∈S1 \in S, 2∉S2 \notin S ve ∣S∣≥4|S| \ge 4.
Problemi matematiksel sembollerle ifade ederek çözüm yolunu netleştirmek için.
2
Seçim havuzunu belirle
11 kesinlikle var, 22 kesinlikle yok. Geriye kalan seçilebilir elemanlar: {3,4,5,6,7}\{3, 4, 5, 6, 7\}. Havuzdaki eleman sayısı n=5n = 5.
Alt kümenin geri kalan kısmını oluşturacağımız eleman kümesini belirlemek için.
3
Gerekli ek eleman sayısını hesapla
Alt kümede zaten 11 elemanı var (1 tane). Toplam eleman sayısının en az 44 olması için, havuzdan en az 4−1=34 - 1 = 3 eleman daha seçilmelidir.
Sabit eleman hesaba katılarak kombinasyon hesabında kaç eleman seçilmesi gerektiğini bulmak için.
4
Kombinasyonları hesapla ve topla
5 elemanlı havuzdan 3, 4 veya 5 eleman seçme durumları: (53)+(54)+(55)=10+5+1=16\binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 10 + 5 + 1 = 16.
Tüm olası geçerli durumların sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma ve Kombinasyon

İpuçları

1
Önce 11'in kesinlikle bulunduğu ve 22'nin kesinlikle bulunmadığı durumu düşünün. Geriye seçim yapabileceğiniz kaç eleman kalıyor?
2
Alt kümede zaten 11 elemanı var (1 tane). Toplam eleman sayısının en az 4 olması için, geriye kalan havuzdan en az kaç tane daha seçmelisiniz?
3
Geriye kalan 5 elemandan; 3 tane, 4 tane veya 5 tane seçtiğiniz durumları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'en çok 4 elemanlı' koşulu olan bir soru çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumdan Çıkarma Yöntemi: 1'in olduğu ve 2'nin olmadığı tüm alt kümelerin sayısı 25=322^5 = 32'dir. Bunlardan istenmeyen durumları (toplam eleman sayısı 4'ten az olanları) çıkarabilirsiniz. İstenmeyen durumlar: Sadece {1} (0 ek seçim), {1, x} (1 ek seçim), {1, x, y} (2 ek seçim).
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru