Sıfırdan farklı x ve y gerçel sayıları için, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4 x \cdot y = 3 \neĢitlikleri veriliyor. Buna göre, x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?

Sıfırdan farklı x ve y gerçel sayıları için, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4 x \cdot y = 3 \… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Sıfırdan farklı

x

y

gerçel sayıları için,

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4

x \cdot y = 3

eĢitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x^2 + y^2$ ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 150'dir.

Verilen kesirli ifade düzenlendiğinde

y-x

farkının değeri bulunur. Bu farkın karesi alındığında ortaya çıkan özdeşlikte, çarpım değeri yerine yazılarak kareler toplamına ulaşılır.

Verilen birinci eşitlikte payda eşitlemesi yapılır.

\frac{y-x}{x \cdot y} = 4

Kesirli ifadeleri işleyebilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.

İkinci eşitlikte verilen

x \cdot y = 3

değeri yerine yazılır ve

y-x

bulunur.

\frac{y-x}{3} = 4 \implies y-x = 12

Bilinmeyenlerden birinin değerini bulmak için verilen çarpım değeri kullanılır.

Elde edilen

y-x=12

eşitliğinin her iki tarafının karesi alınır.

(y-x)^2 = 12^2 \implies y^2 - 2xy + x^2 = 144

İstenen

x^2 + y^2

terimine ulaşmak için tam kare özdeşliğinden yararlanılır.

Özdeşlikte

x \cdot y = 3

değeri tekrar yerine yazılır ve

x^2 + y^2

yalnız bırakılır.

x^2 + y^2 - 2(3) = 144 \implies x^2 + y^2 - 6 = 144 \implies x^2 + y^2 = 150

Sonuca ulaşmak için bilinen değerler yerine konur ve denklem çözülür.

Tam Kare Özdeşlikleri

Birinci denklemde payda eşitlemesi yaparak

x

y

arasındaki farkı bulmaya çalışın.

Payda eşitlemesinden sonra

\frac{y-x}{xy} = 4

elde edeceksiniz. Buradan

y-x

değerini bulun.

Bulduğunuz

y-x

ifadesinin karesini alın:

(y-x)^2 = y^2 - 2xy + x^2

xy

değerini zaten biliyorsunuz.

İki sayının toplamı ve çarpımı verildiğinde kareleri toplamını soran soruları inceleyin.

Tahmini Süre:1m 30s