Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

Kısa kenarı ∣AB∣=12|AB| = 12 cm, uzun kenarı ∣BC∣=18|BC| = 18 cm olan ABCDABCD dikdörtgeni biçimindeki bir kağıt, [AC][AC] köşegeni boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda DD köşesi D′D' noktasına gelmekte ve [AD′][AD'] kenarı ile [BC][BC] kenarı KK noktasında kesişmektedir.

Buna göre, oluşan AKCAKC üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    54
  2. B
    72
  3. 78Cevap
  4. D
    90
  5. E
    108

Cevap

Oluşan AKC üçgeninin alanı 78 cm²'dir.
Katlama işlemi açıortay oluşturur ve dikdörtgenin paralelliği ile birleşince AKCAKC üçgeninin ikizkenar (∣AK∣=∣KC∣|AK|=|KC|) olduğu görülür. Pisagor bağıntısı ile ikizkenar üçgenin eş kenarlarının uzunluğu 13 cm bulunur. Tabanı 13 cm ve yüksekliği 12 cm olan üçgenin alanı 78 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama özelliğini ve açıları analiz et
Katlama nedeniyle m(DAC^)=m(D′AC^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{D'AC}) olur. Ayrıca dikdörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğundan (AD//BCAD // BC), iç ters açılardan (Z kuralı) m(DAC^)=m(ACB^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACB}) olur. Dolayısıyla m(KAC^)=m(KCA^)m(\widehat{KAC}) = m(\widehat{KCA}) olur.
Katlama simetrisi ve paralellik özelliklerini kullanarak üçgenin türünü belirlemek için.
2
Oluşan üçgenin ikizkenar olduğunu belirle ve bilinmeyenleri tanımla
Açıların eşitliği nedeniyle AKCAKC üçgeni ikizkenardır, yani ∣AK∣=∣KC∣=x|AK| = |KC| = x diyelim. KK noktası [BC][BC] üzerinde olduğundan, ∣BK∣=18−x|BK| = 18 - x olur.
Uzunlukları bulmak için denklemi kurmaya hazırlık.
3
ABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula
ABKABK dik üçgeninde (∣AB∣=12|AB|=12): 122+(18−x)2=x212^2 + (18-x)^2 = x^2 denklemi kurulur. 144+324−36x+x2=x2⇒468=36x⇒x=13144 + 324 - 36x + x^2 = x^2 \Rightarrow 468 = 36x \Rightarrow x = 13 cm bulunur.
AKCAKC üçgeninin taban uzunluğunu (∣KC∣|KC|) bulmak için.
4
AKC üçgeninin alanını hesapla
Alan formülü: Taban×Yu¨kseklik2\frac{Taban \times Yükseklik}{2}. Taban ∣KC∣=13|KC| = 13 cm, bu tabana ait yükseklik dikdörtgenin kısa kenarı olan ∣AB∣=12|AB| = 12 cm'dir. Alan = 13×122=13×6=78\frac{13 \times 12}{2} = 13 \times 6 = 78 cm2\text{cm}^2.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Katlama sorularında açıortay ve paralellik (Z kuralı) birleşerek daima ikizkenar üçgen oluşturur.

İpuçları

1
Dikdörtgeni köşegeni boyunca katladığınızda, kat izi bir açıortay oluşturur. Z kuralını kullanarak iç ters açıları bulun.
2
Oluşan AKCAKC üçgeninin taban açılarının eşit olduğunu, dolayısıyla bu üçgenin bir ikizkenar üçgen (∣AK∣=∣KC∣|AK| = |KC|) olduğunu fark edin.
3
∣KC∣=x|KC| = x diyerek ∣BK∣=18−x|BK| = 18-x yazın ve ABKABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını (122+(18−x)2=x212^2 + (18-x)^2 = x^2) kullanarak x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kare şeklindeki bir kağıdın köşegeni boyunca değil, bir kenarının orta noktasına gelecek şekilde katlandığı soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: ABKABK üçgeni ile CD′KCD'K üçgeni eştir (Açı-Kenar-Açı). Buradan da kenar eşitlikleri görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru