Examkin

Soru

Zorluk: KolayKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir düzlemde bulunan 66 noktadan 33 tanesi aynı dd doğrusu üzerindedir. Geriye kalan 33 nokta ise bu doğru üzerinde değildir ve herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, köşeleri bu 66 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    10
  2. B
    15
  3. C
    18
  4. 19Cevap
  5. E
    20

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen en fazla 19 farklı üçgen oluşturulabilir.
Verilen 6 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı C(6,3)=20C(6, 3) = 20'dir. Ancak, soruda belirtilen dd doğrusu üzerindeki 3 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen tek bir 3'lü grup (C(3,3)=1C(3, 3) = 1) üçgen oluşturmaz. Bu nedenle 20−1=1920 - 1 = 19 farklı üçgen çizilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını ve üçgen oluşturmak için gereken nokta sayısını belirleyin.
n=6n = 6, r=3r = 3
Bir üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır.
2
Hiçbir sınırlama olmasaydı oluşabilecek tüm üçlü kombinasyonları hesaplayın.
C(6,3)=6×5×43×2×1=20C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
6 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını bulmak için kombinasyon formülü kullanılır.
3
Doğrusal olan noktaların oluşturduğu ve üçgen belirtmeyen durumları hesaplayın.
C(3,3)=1C(3, 3) = 1
Aynı dd doğrusu üzerinde bulunan 3 nokta, doğrusal oldukları için bir üçgen oluşturamaz.
4
Toplam durum sayısından üçgen oluşturmayan durumu çıkarın.
20−1=1920 - 1 = 19
Geometrik olarak mümkün olan gerçek üçgen sayısına ulaşmak için kısıtlamayı genel toplamdan çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle şekil sayma problemlerinde, tüm seçimlerden doğrusal olan ve şekil oluşturmayan noktaların seçimini çıkarmak temel kuraldır.

İpuçları

1
Bir üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan kaç noktaya ihtiyacınız olduğunu hatırlayın.
2
6 noktadan yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplayın, sonra kısıtlamayı düşünün.
3
Aynı doğru üzerindeki 3 noktanın kendi arasında üçgen oluşturamayacağını (C(3,3)=1C(3, 3) = 1) toplam seçimlerden çıkarmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Nokta sayısını değiştirerek veya ikinci bir paralel doğru ekleyerek soruyu daha karmaşık hale getirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, noktaları gruplandırarak da çözebilirsiniz: (Doğru üzerinden 1 nokta, dışarıdan 2 nokta) + (Doğru üzerinden 2 nokta, dışarıdan 1 nokta) + (Dışarıdaki 3 noktadan 3'ü). Yani: C(3,1)×C(3,2)+C(3,2)×C(3,1)+C(3,3)=3×3+3×3+1=9+9+1=19C(3, 1) \times C(3, 2) + C(3, 2) \times C(3, 1) + C(3, 3) = 3 \times 3 + 3 \times 3 + 1 = 9 + 9 + 1 = 19.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru