Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir ABCABC üçgeninde, bu iki kenarın uzunlukları toplamı 15 cm'dir.

Üçgenin iç açıları arasında m(B^)>m(C^)>m(A^)m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) sıralaması olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kenar uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

5 farklı değer
Verilen m(B^)>m(C^)>m(A^)m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) şartı, kenarlar arasında ∣AC∣>∣AB∣>∣BC∣|AC| > |AB| > |BC| (yani b>c>ab > c > a) sıralamasını gerektirir. b+c=15b+c=15 eşitliğini sağlayan ve b>cb>c olan tam sayı ikilileri incelendiğinde, sadece (8,7)(8,7) ve (9,6)(9,6) çiftleri için geçerli bir aa tam sayısı bulunabilir. (8,7)(8,7) çifti için a∈{2,3,4,5,6}a \in \{2,3,4,5,6\} ve (9,6)(9,6) çifti için a∈{4,5}a \in \{4,5\} değerleri elde edilir. Bu iki kümenin birleşimi {2,3,4,5,6}\{2,3,4,5,6\} olup toplam 5 farklı değer vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açı sıralamasını kenar sıralamasına dönüştür.
m(B^)>m(C^)>m(A^)⇒b>c>am(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \Rightarrow b > c > a
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanır. Burada ∣AC∣=b|AC|=b, ∣AB∣=c|AB|=c, ∣BC∣=a|BC|=a olarak adlandırılmıştır.
2
Verilen toplam (b+c=15b+c=15) ve sıralama (b>cb>c) şartını sağlayan tam sayı ikililerini listele.
Olası (b,c)(b, c) ikilileri: (8,7),(9,6),(10,5),(11,4),(12,3),(13,2),(14,1)(8, 7), (9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1)
bb ve cc tam sayı olmalı ve toplamları 15 etmelidir. Ayrıca b>cb > c şartı sağlanmalıdır.
3
Her ikili için üçgen eşitsizliği (b−c<a<b+cb-c < a < b+c) ve kenar sıralaması (a<ca < c) şartlarını kontrol et.
Şart: b−c<a<cb-c < a < c olmalıdır.
1. Durum (8, 7): 1<a<7⇒a∈{2,3,4,5,6}1 < a < 7 \Rightarrow a \in \{2, 3, 4, 5, 6\} (5 değer)
2. Durum (9, 6): 3<a<6⇒a∈{4,5}3 < a < 6 \Rightarrow a \in \{4, 5\} (2 değer)
3. Durum (10, 5): 5<a<55 < a < 5 (Çözüm yok)
Diğer durumlarda b−c≥cb-c \ge c olduğu için çözüm yoktur.
Üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalı, ayrıca sorudaki açı sıralaması gereği aa en kısa kenar olmalıdır.
4
Bulunan değerlerin birleşim kümesini oluştur ve eleman sayısını bul.
Küme 1: {2,3,4,5,6}\{2, 3, 4, 5, 6\}
Küme 2: {4,5}\{4, 5\}
Birleşim: {2,3,4,5,6}\{2, 3, 4, 5, 6\}
Eleman Sayısı: 5
Aynı değerler tekrar sayılmaz, farklı tam sayı değerleri sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ilkesi ve üçgen eşitsizliğinin ortak çözümü.

İpuçları

1
Açı sıralamasını kenar sıralamasına dönüştürün: Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
2
∣AC∣=b|AC|=b, ∣AB∣=c|AB|=c ve ∣BC∣=a|BC|=a olsun. b>c>ab > c > a sıralamasını ve b+c=15b+c=15 şartını sağlayan (b,c)(b,c) tam sayı çiftlerini deneyin.
3
Her (b,c)(b,c) çifti için üçgen eşitsizliği ∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c ile sorudaki a<ca < c şartını kesiştirerek aa'nın alabileceği değerleri bulun.

Daha Fazla Pratik

Toplamları sabit olan iki kenarın farkının mutlak değeri arttıkça, üçüncü kenarın alabileceği değer aralığının nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru