Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAlt Küme

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesi veriliyor. Bu kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, kümedeki en küçük eleman ile en büyük elemanın toplamı 9 olur?

  1. A
    15
  2. B
    18
  3. C
    21
  4. 22Cevap
  5. E
    28

Cevap

Koşulu sağlayan toplam 22 farklı alt küme vardır.
4 elemanlı bir kümenin en küçük ve en büyük elemanlarının toplamı sabitlendiğinde, diğer 2 eleman bu iki değer arasında olmak zorundadır. (1,8) için arada 6 sayı, (2,7) için 4 sayı, (3,6) için 2 sayı vardır. Bu aralıklardan 2'şer eleman seçilerek tüm olasılıklar toplanır: (62)+(42)+(22)=15+6+1=22\binom{6}{2} + \binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 15 + 6 + 1 = 22.

Adım Adım Çözüm

1
Alt küme özelliklerini ve kısıtlamaları belirle
Alt küme KK olsun. s(K)=4s(K)=4 ve min⁡(K)+max⁡(K)=9\min(K) + \max(K) = 9.
Soruda istenen şartları matematiksel ifadeye dökmek gerekir.
2
Toplamı 9 olan olası (min, max) çiftlerini listele
Olası çiftler: (1,8),(2,7),(3,6),(4,5)(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).
Küme elemanları 11 ile 88 arasındadır. Bu aralıkta toplamı 9 eden uç noktalar belirlenmelidir.
3
Her çift için aradaki elemanlardan 2 tane seçim yap (toplam 4 eleman olması için)
Durum 1: (1,8)→(1, 8) \rightarrow Arada {2,3,4,5,6,7}\{2,3,4,5,6,7\} var (6 eleman). (62)=15\binom{6}{2} = 15 küme.
Durum 2: (2,7)→(2, 7) \rightarrow Arada {3,4,5,6}\{3,4,5,6\} var (4 eleman). (42)=6\binom{4}{2} = 6 küme.
Durum 3: (3,6)→(3, 6) \rightarrow Arada {4,5}\{4,5\} var (2 eleman). (22)=1\binom{2}{2} = 1 küme.
Durum 4: (4,5)→(4, 5) \rightarrow Arada eleman yok. 2 eleman seçilemez. 0 küme.
En küçük ve en büyük eleman seçildikten sonra, kalan 2 eleman bu iki değerin ARASINDAN seçilmelidir. Aksi takdirde min/max değerleri değişir.
4
Tüm durumları topla
15+6+1=2215 + 6 + 1 = 22.
Ayrık durumların toplam sayısı cevabı verir.

Anahtar Kavram

Bu soru, alt küme tanımını, min-max kavramlarını ve kombinasyon hesabını (seçme) birleştirerek test etmektedir.

İpuçları

1
Önce, toplamları 9 olan ve kümede bulunan en küçük ve en büyük sayı çiftlerini (x, y) belirleyin.
2
Bir alt kümenin en küçüğü x, en büyüğü y ise, diğer elemanlar x ile y arasında olmalıdır.
3
Olası çiftler (1,8), (2,7), (3,6)'dır. Her çift için aradaki sayılardan kaç farklı şekilde 2 sayı daha seçebileceğinizi hesaplayıp toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla: 'Elemanları çarpımı negatif olan 3 elemanlı kaç alt küme vardır?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm 4 elemanlı alt kümeleri yazmak yerine, sistematik olarak en küçük elemanı 1, 2, 3... olanları gruplandırarak da gidilebilir, ancak kombinasyon yöntemi daha hızlıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru