Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=10|AB| = 10 cm ve ∣AC∣=24|AC| = 24 cm uzunlukları verilmiştir. m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu ve BCBC kenarına ait kenarortay uzunluğunun santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, bu kenarortayın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    6
  5. E
    9

Cevap

Kenarortay uzunluğu 5 farklı tam sayı değeri alabilir.
Üçgende bir köşedeki açı 90∘90^\circ olduğunda kenarortay uzunluğu x=102+242/2=13x = \sqrt{10^2+24^2}/2 = 13 olur. Açı 90∘90^\circ'den büyük olduğunda, kenarortay uzunluğu kısalır, yani x<13x < 13 olur. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden x>(24−10)/2=7x > (24-10)/2 = 7 olmalıdır. Bu durumda 7<x<137 < x < 13 aralığındaki tam sayılar 8, 9, 10, 11 ve 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğuna xx diyelim. ABCABC üçgenini bir paralelkenara tamamlayarak veya kenarortay formülü ile 2x2x uzunluğunun bulunduğu üçgeni (kenarları 10, 24 ve 2x2x) oluşturalım.
Üçgen eşitsizliğinden: ∣24−10∣<2x<24+10⇒14<2x<34⇒7<x<17|24 - 10| < 2x < 24 + 10 \Rightarrow 14 < 2x < 34 \Rightarrow 7 < x < 17.
Bir üçgende kenarortay uzunluğu, diğer iki kenarın farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.
2
Soruda verilen m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ (geniş açı) şartının kenarortay üzerindeki etkisini inceleyelim.
m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ ise, kenarortay uzunluğunun karesi için 2x2<102+242−a222x^2 < 10^2 + 24^2 - \frac{a^2}{2} bağıntısı yerine daha pratik olarak; AA açısı geniş ise kenarortay 'kısalır'. Sınır durumunda (A=90∘A=90^\circ) x=a2=13x = \frac{a}{2} = 13 olurdu. Açı büyüdükçe kenarortay küçüleceğinden x<13x < 13 olmalıdır.
Geniş açılı üçgenlerde, geniş açıdan çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüse ait kenarortay uzunluğundan (muhteşem üçlü durumundan) daha kısadır.
3
Her iki eşitsizlik sistemini (genel aralık ve açı kısıtlaması) birleştirerek çözüm kümesini bulalım.
Genel aralık 7<x<177 < x < 17 ve açı şartı x<13x < 13. Kesişim: 7<x<137 < x < 13.
Kenarortay hem var olma şartını (üçgen eşitsizliği) hem de açı şartını aynı anda sağlamalıdır.
4
Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip sayalım.
Alabileceği değerler: 8, 9, 10, 11, 12. Toplam 5 tane.
Aralık uç noktaları (7 ve 13) eşitsizliğe dahil değildir.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgende kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısadır (Va<adik2V_a < \frac{a_{dik}}{2}).
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru