Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=24|AB| = 24 cm ve ∣AC∣=7|AC| = 7 cm olarak verilmiştir. m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu ve BCBC kenarına ait kenarortay uzunluğunun (VaV_a) santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, VaV_a'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    30
  2. 42Cevap
  3. C
    55
  4. D
    84
  5. E
    96

Cevap

Kenarortayın alabileceği değerler toplamı 42'dir.
Üçgende kenarortay teoremi ve açı-kenar bağıntıları birlikte düşünüldüğünde, VaV_a değeri hem genel sınırlara (8.5<Va<15.58.5 < V_a < 15.5) hem de geniş açı şartına (Va<12.5V_a < 12.5) uymalıdır. Bu kesişimdeki tam sayılar 9, 10, 11 ve 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğu VaV_a için genel üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.
∣b−c∣2<Va<b+c2⇒24−72<Va<24+72⇒8.5<Va<15.5\frac{|b-c|}{2} < V_a < \frac{b+c}{2} \Rightarrow \frac{24-7}{2} < V_a < \frac{24+7}{2} \Rightarrow 8.5 < V_a < 15.5
Bir üçgende kenarortay uzunluğu, komşu kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.
2
m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ (geniş açı) şartının kenarortay üzerindeki etkisini uygula.
Va<b2+c22⇒Va<72+2422⇒Va<252⇒Va<12.5V_a < \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{7^2 + 24^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{25}{2} \Rightarrow V_a < 12.5
A açısı 90∘90^\circ olsaydı Va=a2=b2+c22V_a = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2} (Muhteşem Üçlü) olurdu. A açısı genişledikçe kenarortay kısalır.
3
İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm kümesini bul.
8.5<Va<12.58.5 < V_a < 12.5
Her iki koşulu da (üçgen oluşma şartı ve geniş açı şartı) aynı anda sağlamalıdır.
4
Aralıktaki tam sayıları belirle ve topla.
Tam sayılar: 9, 10, 11, 12. Toplam: 9+10+11+12=429+10+11+12 = 42.
Soruda kenarortayın tam sayı olduğu ve değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan (hipotenüsün yarısı) daha küçüktür.

İpuçları

1
Bir üçgende kenarortay uzunluğu (VaV_a), kenarlar bb ve cc olmak üzere, ∣b−c∣2<Va<b+c2\frac{|b-c|}{2} < V_a < \frac{b+c}{2} aralığındadır.
2
Eğer m(A^)=90∘m(\widehat{A}) = 90^\circ olsaydı, muhteşem üçlü gereği Va=a2=b2+c22V_a = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2} olurdu.
3
m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ olduğu için kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki değerden daha küçük olmalıdır (Va<12.5V_a < 12.5).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu m(A^)<90∘m(\widehat{A}) < 90^\circ (dar açı) şartıyla çözerek aralığın nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kenarortayı 2 katına uzatarak (2Va2V_a) bir paralelkenar oluşturma yöntemiyle de kenar uzunlukları 7, 24 ve köşegeni 2Va2V_a olan bir üçgen elde edip, bu üçgende geniş açı yorumu yaparak çözüm yapılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru