Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDörtgenler

ABCDABCD bir paralelkenar olmak üzere, E∈[DC]E \in [DC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları işaretlenmiştir. ∣EC∣=2∣DE∣|EC| = 2|DE| ve ∣BF∣=3∣FC∣|BF| = 3|FC| eşitlikleri verilmiştir. Alan(ABCD)=120Alan(ABCD) = 120 cm² olduğuna göre, Alan(AEF)Alan(AEF) kaç cm²'dir?

  1. A
    30
  2. B
    40
  3. 45Cevap
  4. D
    50
  5. E
    60

Cevap

Şekildeki dış üçgenlerin alanları toplamı olan 75 cm², paralelkenarın toplam alanı olan 120 cm²'den çıkarıldığında Alan(AEF)Alan(AEF) 45 cm² olarak bulunur.
Paralelkenarın köşelerinde oluşan ADEADE, ECFECF ve ABFABF üçgenlerinin alanları, paralelkenarın toplam alanına oranlanarak hesaplanır. Bu oranlar sırasıyla 1/61/6, 1/121/12 ve 3/83/8 olup, 120 cm² üzerinden değerleri 20, 10 ve 45 cm²'dir. Toplam 75 cm² olan bu alanlar 120'den çıkarıldığında sonuç 45 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ADEADE üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ADE)=20Alan(ADE) = 20 cm²
DE=13DCDE = \frac{1}{3} DC olduğundan Alan(ADE)=12⋅AD⋅13CD⋅sin⁡(D)=16Alan(ABCD)=1206=20Alan(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{1}{3} CD \cdot \sin(D) = \frac{1}{6} Alan(ABCD) = \frac{120}{6} = 20 cm².
2
ECFECF üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ECF)=10Alan(ECF) = 10 cm²
EC=23CDEC = \frac{2}{3} CD ve CF=14BCCF = \frac{1}{4} BC olduğundan Alan(ECF)=12⋅23CD⋅14BC⋅sin⁡(C)=112Alan(ABCD)=12012=10Alan(ECF) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} CD \cdot \frac{1}{4} BC \cdot \sin(C) = \frac{1}{12} Alan(ABCD) = \frac{120}{12} = 10 cm².
3
ABFABF üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ABF)=45Alan(ABF) = 45 cm²
BF=34BCBF = \frac{3}{4} BC olduğundan Alan(ABF)=12⋅AB⋅34BC⋅sin⁡(B)=38Alan(ABCD)=38⋅120=45Alan(ABF) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{3}{4} BC \cdot \sin(B) = \frac{3}{8} Alan(ABCD) = \frac{3}{8} \cdot 120 = 45 cm².
4
Toplam alandan dış üçgenleri çıkar.
45 cm²
Alan(AEF)=Alan(ABCD)−[Alan(ADE)+Alan(ECF)+Alan(ABF)]=120−[20+10+45]=120−75=45Alan(AEF) = Alan(ABCD) - [Alan(ADE) + Alan(ECF) + Alan(ABF)] = 120 - [20 + 10 + 45] = 120 - 75 = 45 cm².

Anahtar Kavram

Paralelkenarda alan parçalama ve üçgenin alanı ile paralelkenarın alanı arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Paralelkenarın alanını, köşelerdeki üçgenlerin alanlarını bulup toplam alandan çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.
2
Bir üçgenin alanı, iki kenarı ve aralarındaki açının sinüsü çarpımının yarısıdır. Paralelkenarın alanı ise kenar çarpımları ve açının sinüsüdür.
3
Alan(ABF)=12⋅∣AB∣⋅∣BF∣⋅sin⁡(B)Alan(ABF) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BF| \cdot \sin(B) formülünde ∣BF∣=34∣BC∣|BF| = \frac{3}{4} |BC| yazarak paralelkenar alanıyla ilişki kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu bir dikdörtgen içinde alan oranları vererek çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru