Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayma Kuralları (Toplama ve Çarpma)

Bir İl Afet ve Acil Durum Müdürlüğü (AFAD), olası bir doğal afet senaryosu için özel bir 'Kriz Müdahale Ekibi' oluşturacaktır. Müdürlüğün elindeki mevcut personel havuzu ve sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel ÜnvanıMevcut Sayı
Arama Kurtarma Teknisyeni4
İlk Yardım Uzmanı5
Lojistik Sorumlusu3

Oluşturulacak 4 kişilik bu ekip için aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

1. Ekipte her ünvandan en az bir personel bulunmalıdır.
2. Personel havuzunda bulunan Arama Kurtarma Teknisyeni Ali Bey ile İlk Yardım Uzmanı Berna Hanım evli oldukları için, kurum yönetmeliği gereği aynı operasyon ekibinde yer alamazlar.

Buna göre, bu Kriz Müdahale Ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    222
  2. 246Cevap
  3. C
    258
  4. D
    270
  5. E
    285

Cevap

Kurallara uygun 246 farklı ekip oluşturulabilir.
Soruda verilen kısıtlamalar altında doğru hesaplama yöntemi 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' ilkesine dayanır. Öncelikle 4 kişilik ekipte her branştan en az bir kişi olma şartı, ekibin dağılımının (2,1,1) şeklinde olmasını gerektirir. Bu şartı sağlayan toplam 270 farklı ekip kurulabilir. Ancak Ali ve Berna'nın birlikte çalışamayacağı belirtildiğinden, bu ikilinin birlikte bulunduğu ve yine (2,1,1) şartını sağlayan 24 durum (9+12+3) genel toplamdan çıkarılmalıdır. Sonuç olarak 270−24=246270 - 24 = 246 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ekip yapısının belirlenmesi
4 kişilik ekipte 3 farklı branştan en az 1 kişi olacağı için dağılım (2, 1, 1) şeklinde olmalıdır.
Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 farklı grup var. Bu ancak bir gruptan 2, diğerlerinden 1'er kişi seçilerek mümkündür.
2
Tüm durumların (kısıtlama olmadan) hesaplanması
Durum 1 (2 Teknisyen, 1 Uzman, 1 Lojistik): C(4,2)⋅C(5,1)⋅C(3,1)=6⋅5⋅3=90C(4,2) \cdot C(5,1) \cdot C(3,1) = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90
Durum 2 (1 Teknisyen, 2 Uzman, 1 Lojistik): C(4,1)⋅C(5,2)⋅C(3,1)=4⋅10⋅3=120C(4,1) \cdot C(5,2) \cdot C(3,1) = 4 \cdot 10 \cdot 3 = 120
Durum 3 (1 Teknisyen, 1 Uzman, 2 Lojistik): C(4,1)⋅C(5,1)⋅C(3,2)=4⋅5⋅3=60C(4,1) \cdot C(5,1) \cdot C(3,2) = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60
Toplam = 90+120+60=27090 + 120 + 60 = 270
Toplama ve çarpma kuralı kullanılarak olası tüm kombinasyonlar hesaplanır.
3
İstenmeyen durumların (Ali ve Berna birlikte) hesaplanması
Ali (A) ve Berna (B) seçildiğinde kalan 2 kişi seçilmelidir (biri mutlaka Lojistik olmalı).
Durum 1 (Ali + 1 Teknisyen, Berna, 1 Lojistik): 1⋅C(3,1)⋅1⋅C(3,1)=91 \cdot C(3,1) \cdot 1 \cdot C(3,1) = 9
Durum 2 (Ali, Berna + 1 Uzman, 1 Lojistik): 1⋅1⋅C(4,1)⋅C(3,1)=121 \cdot 1 \cdot C(4,1) \cdot C(3,1) = 12
Durum 3 (Ali, Berna, 2 Lojistik): 1⋅1⋅1⋅C(3,2)=31 \cdot 1 \cdot 1 \cdot C(3,2) = 3
Toplam İstenmeyen = 9+12+3=249 + 12 + 3 = 24
Ali ve Berna'nın aynı anda bulunduğu durumlar hesaplanarak genel toplamdan çıkarılacaktır.
4
Sonucun bulunması
270−24=246270 - 24 = 246
Tüm durumlardan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Sayma Kuralları (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1
Bu tür sorularda doğrudan 'ayrık' ekipleri saymak zordur. Bunun yerine, hiçbir yasak yokmuş gibi 'Tüm Durumları' hesaplayıp, sonra yasaklı durumu (Ali ve Berna'nın birlikte olduğu durumları) çıkarmayı deneyin.
2
Ekip 4 kişilik ve 3 farklı branş var. Her branştan en az bir kişi olması için, bir branştan 2 kişi, diğerlerinden 1'er kişi seçilmelidir. Bu üç farklı durumu (2-1-1, 1-2-1, 1-1-2) ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
3
İstenmeyen durumda Ali (Arama Kurtarma) ve Berna (İlk Yardım) kesinlikle seçilmiştir. Geriye seçilmesi gereken 2 kişi kalır ve bunlardan en az biri Lojistikçi olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan alt durumları hesaplayıp toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'En az 2 doktorun bulunduğu' gibi alt sınır içeren bir komisyon problemi çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Direkt Yöntem: Ali'nin olup Berna'nın olmadığı + Berna'nın olup Ali'nin olmadığı + İkisinin de olmadığı durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı gerektirir ve hata riski daha yüksektir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma)

Bu konudan daha fazla soru