Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma)

32 soru

Bir kamu kurumu, "Sıfır Atık" projesi kapsamında iki aşamalı bir stratejik eylem planı hazırlayacaktır. Planın birinci aşaması için "Geri Dönüşüm" ( $3$ farklı yöntem) veya "Yeniden Kullanım" ( $2$ farklı yöntem) yaklaşımlarından biri belirlenecektir. İkinci aşama için ise "Enerji Geri Kazanımı" ( $4$ farklı yöntem) veya "Bertaraf" ( $3$ farklı yöntem) yaklaşımlarından birinin seçilmesi planlanmaktadır. Kurumun belirlediği uygulama esaslarına göre:

- Birinci aşamada "Yeniden Kullanım" yaklaşımı seçilirse, ikinci aşamada mutlaka "Enerji Geri Kazanımı" yöntemlerinden biri tercih edilmelidir.
- Birinci aşamada "Geri Dönüşüm" yaklaşımı seçilirse, ikinci aşamada "Bertaraf" yöntemleri arasında yer alan "Düzenli Depolama" yöntemi yüksek maliyeti nedeniyle elenecektir.

Buna göre, bu stratejik eylem planı kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

12

26

29

32

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $26$

Cevap

Eylem planı, belirtilen kısıtlamalar dahilinde

26

farklı şekilde oluşturulabilir.

Stratejik plan iki ana duruma ayrılır. İlk durumda 'Yeniden Kullanım' seçilirse ikinci aşamada sadece 'Enerji' yöntemleri seçilebildiği için

2 \times 4 = 8

seçenek oluşur. İkinci durumda 'Geri Dönüşüm' seçilirse ikinci aşamada maliyet kısıtı nedeniyle

7 - 1 = 6

yöntem kalır ve

3 \times 6 = 18

seçenek oluşur. Bu iki farklı yolun toplamı olan

8 + 18 = 26

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

Birinci aşamada 'Yeniden Kullanım' seçilmesi durumunu hesapla.

2 \times 4 = 8

durum

Yeniden Kullanım için

2

seçenek vardır. Kural gereği ikinci aşamada sadece Enerji Geri Kazanımı (

4

seçenek) seçilebildiği için çarpma kuralı uygulanır.

Birinci aşamada 'Geri Dönüşüm' seçilmesi durumunu hesapla.

3 \times 6 = 18

durum

Geri Dönüşüm için

3

seçenek vardır. İkinci aşamada Enerji (

4

) ve Bertaraf (

3

) yöntemleri toplam

7

seçenek sunar; ancak 'Düzenli Depolama' elendiği için ikinci aşama için

7 - 1 = 6

seçenek kalır.

Ayrı durumların sonuçlarını topla.

8 + 18 = 26

Birinci aşama ya Geri Dönüşüm ya da Yeniden Kullanım olacağı için bu iki ayrık durum toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları: Toplama ve Çarpma İlkeleri

Daha Fazla Pratik

Koşullu sayma sorularında önce ana dalları belirleyip her dalın kendi kısıtlamalarını ayrı ayrı hesaplamak hata payını azaltır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumu bünyesinde düzenlenen hizmet içi eğitim faaliyetleri kapsamında çalışanlara yönelik $4$ farklı teknik branş eğitimi ve $3$ farklı yabancı dil kursu sunulmuştur. Bu faaliyetlerden bir teknik branş eğitimi ve bir yabancı dil kursu seçerek katılmak isteyen bir personelin, bu seçimi gerçekleştirebileceği kaç farklı durum vardır?

1

7

9

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12$

Cevap

Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca, personelin önündeki seçenekler

4 \times 3 = 12

farklı şekilde eşleşebilir.

Verilen problemde personel, iki farklı kategoriden birer seçim yapmaktadır. Kategorilerin biri 4 seçenekli, diğeri ise 3 seçeneklidir. 've' bağlacı bu iki seçimin bir arada bir kombinasyon oluşturduğunu gösterdiğinden, Çarpma Yoluyla Sayma kuralı uygulanır ve sonuç

4 \times 3 = 12

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Seçimlerin birbirinden bağımsız ve ardışık olup olmadığını belirleyin.

Bağımsız ve ardışık seçimlerdir.

Personel bir eğitim grubundan bir öğe seçerken aynı zamanda diğer gruptan da bir öğe seçmektedir.

Kullanılan 've' bağlacına göre uygun sayma kuralını seçin.

Çarpma Yoluyla Sayma kuralı uygulanmalıdır.

've' bağlacı, her iki seçim grubunun da gerçekleşeceğini ve bu durumların birbiriyle eşleşeceğini ifade eder.

Gruplardaki seçenek sayılarını çarpın.

4 \times 3 = 12

Teknik eğitim için 4 durum, yabancı dil kursu için 3 durum olduğundan toplam durum sayısı bu ikisinin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Çarpma Yoluyla Sayma (Multiplication Principle)

İpuçları

Soruda geçen 've' bağlacına dikkat edin. Bu bağlacın sayma kurallarındaki karşılığını hatırlayın.

Her bir teknik eğitim için kaç farklı yabancı dil kursu seçilebileceğini düşünün.

Birinci eğitim için 3, ikinci için 3, üçüncü için 3 ve dördüncü için 3 seçenek vardır. Bu durum

4 \times 3

işlemine karşılık gelir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'veya' bağlacı kullanarak çözerek toplama ve çarpma kuralları arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ağaç diyagramı yöntemi ile tüm durumlar listelenebilir. Birinci gruptaki her bir ders için ikinci gruptaki dersler dallandırıldığında toplam 12 uç elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemi için iki farklı prosedür uygulanabilmektedir. Birinci prosedürde evrak, önce Kayıt Birimi'ndeki 3 memurdan biri tarafından sisteme girilmekte ve ardından Kontrol Birimi'ndeki 5 şeften biri tarafından onaylanmaktadır. İkinci prosedürde ise evrak, doğrudan Yönetim Birimi'ndeki 4 müdürden biri tarafından tek aşamada onaylanmaktadır. Buna göre, bir evrağın kayıt işlemi kaç farklı yolla gerçekleştirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Evrak kayıt işlemi toplam 19 farklı yolla gerçekleştirilebilir.

Soruda iki alternatif durum (veya) ve birinci durumun içinde sıralı alt aşamalar (ve) bulunmaktadır. Birinci prosedürde olaylar birbirine bağlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır: 3 memur x 5 şef = 15 yol. İkinci prosedür, birinciye alternatif olduğu için 4 müdür seçeneği ayrı bir durumdur. Sonuç olarak, bu iki alternatif durum toplanır: 15 + 4 = 19.

Adım Adım Çözüm

Birinci prosedürdeki durum sayısını hesapla (Çarpma Kuralı).

3 x 5 = 15 farklı yol.

Evrak önce memurdan 've' sonra şeften geçmektedir. Birbirine bağlı sıralı olaylarda çarpma kuralı uygulanır.

İkinci prosedürdeki durum sayısını belirle.

4 farklı yol.

İkinci prosedürde sadece 4 müdürden biri seçilmektedir.

İki prosedürü birleştir (Toplama Kuralı).

15 + 4 = 19 farklı yol.

Birinci prosedür 'veya' ikinci prosedür gerçekleşebilir. Alternatif (ayrık) durumlarda toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayma işleminde; birbirine bağlı ardışık olaylar için 'Çarpma Kuralı', birbirine alternatif ayrık olaylar için 'Toplama Kuralı' kullanılır.

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumu tarafından düzenlenen "Kişisel Gelişim ve Planlama" eğitim programında personelin tercih edebileceği seçenekler aşağıda belirtilmiştir:

* Birinci Bölüm: $3$ farklı "Zaman Yönetimi" veya $2$ farklı "Etkili İletişim" seminerinden yalnızca birine katılım sağlanacaktır.
* İkinci Bölüm: $4$ farklı "Liderlik Becerileri" eğitiminden birine katılım sağlanacaktır.
* Sertifika: Eğitimi tamamlayan personele $2$ farklı tasarıma sahip "Başarı Sertifikası"ndan biri takdim edilecektir.

Buna göre, bu eğitim programına katılan bir personel; katılacağı seminerleri ve alacağı sertifikayı kaç farklı şekilde seçebilir?

40

48

24

11

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $40$

Cevap

Eğitim programına katılan bir personel toplam

40

farklı seçim yapabilir.

Personelin birinci bölüm için

3 + 2 = 5

farklı seçeneği vardır. İkinci bölüm için

4

farklı seçeneği ve sertifika için

2

farklı seçeneği bulunmaktadır. Bu seçimler birbirine bağlı aşamalar olduğu için çarpma kuralı gereği

5 \times 4 \times 2 = 40

farklı şekilde gerçekleştirilebilir.

Adım Adım Çözüm

Birinci bölümdeki toplam seçenek sayısını hesaplayınız.

3 + 2 = 5

"Veya" bağlacı kullanıldığı için ayrık olaylar söz konusudur ve toplama kuralı uygulanır.

Tüm aşamaları birleştirerek toplam seçim sayısını hesaplayınız.

5 \times 4 \times 2 = 40

Birinci bölüm, ikinci bölüm ve sertifika seçimi birbirini takip eden bağımsız işlemler olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları (Toplama ve Çarpma)

İpuçları

Birinci bölümdeki "veya" bağlacına dikkat edin; bu durumda toplama yapmanız gerekir.

Her bir bölümden bir seçim yapıldığı ve bu seçimler bir süreci tamamladığı için bölümler arası sonuçları çarpmalısınız.

Aşamaları tek tek belirleyin: Birinci bölüm (

5

), İkinci bölüm (

4

), Sertifika (

2

). Şimdi bu sayıları çarparak sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

Seçeneklere 'veya' yerine 've' bağlacı eklendiğinde durumun nasıl değişeceğini düşünerek benzer bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir devlet arşivinde dijital dosyaların sınıflandırılması amacıyla iki karakterden oluşan bir barkod sistemi geliştirilmiştir. Bu sistemin teknik özellikleri şu şekildedir:

- Birinci karakter; $\{A, B, C, D, E, F\}$ kümesindeki harflerden biri,
- İkinci karakter; $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesindeki rakamlardan biri olacaktır.

Barkodların oluşturulmasında uygulanan kurala göre; birinci karakterde sesli bir harf kullanılması durumunda ikinci karakterin mutlaka bir çift rakam olması gerekmektedir. Birinci karakterde sessiz bir harf kullanılması durumunda ise ikinci karakter için herhangi bir sınırlama bulunmamaktadır.

Buna göre, bu kurala uygun kaç farklı barkod oluşturulabilir?

48

40

32

24

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $40$

Cevap

Verilen kurala uygun olarak toplam

40

farklı barkod oluşturulabilir.

Toplam barkod sayısı, sesli harflerle başlayanlar ve sessiz harflerle başlayanlar olmak üzere iki ayrı grubun toplamıdır. Sesli harfler (

2

adet) seçildiğinde rakamlar mutlaka çift (

4

adet) olmalıdır (

2 \times 4 = 8

). Sessiz harfler (

4

adet) seçildiğinde rakamlar herhangi biri (

8

adet) olabilir (

4 \times 8 = 32

). Bu iki durumun toplamı olan

40

doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

Harf ve rakam kümelerini kategorize etme

Harf kümesinde

\{A, E\}

olmak üzere

2

sesli,

\{B, C, D, F\}

olmak üzere

4

sessiz harf vardır. Rakam kümesinde ise

\{2, 4, 6, 8\}

olmak üzere

4

çift, toplam

8

rakam vardır.

Soruda verilen koşullar harf ve rakam türlerine bağlı olduğu için gruplandırma yapılması gerekir.

Birinci karakterin sesli harf olması durumunu hesaplama

2 \text{ (sesli harf)} \times 4 \text{ (çift rakam)} = 8

farklı barkod.

Çarpma prensibine göre bağımsız seçimlerin sayıları çarpılır.

Birinci karakterin sessiz harf olması durumunu hesaplama

4 \text{ (sessiz harf)} \times 8 \text{ (herhangi rakam)} = 32

farklı barkod.

Sessiz harf durumunda rakam kısıtlaması olmadığı için tüm rakamlar seçilebilir.

Durumları toplama

8 + 32 = 40

Birbirinden ayrı (ayrık) gerçekleşen bu iki ana durum toplama prensibi gereği toplanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları: Toplama ve Çarpma Prensiplerinin Birlikte Kullanımı

İpuçları

Problemi 'sesli harfle başlayanlar' ve 'sessiz harfle başlayanlar' olarak iki ayrı duruma ayırın.

Sesli harf seçtiğinizde yanına gelebilecek rakam sayısının azaldığını, sessiz harf seçtiğinizde ise tüm rakamların gelebildiğini unutmayın.

Sesli harf durumunda

2 \times 4

, sessiz harf durumunda ise

4 \times 8

işlemini yapıp sonuçları toplamalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, üç haneli ve harf-rakam-harf şeklinde dizilen kod sorularını çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülecek özel bir proje için 1 Proje Yöneticisi, 1 Saha Sorumlusu ve 1 Teknik Analist'ten oluşan üç kişilik bir 'Proje Yürütme Ekibi' kurulacaktır.

Aday havuzunda;
* 3 farklı Proje Yöneticisi adayı (Kemal Bey dahil),
* 4 farklı Saha Sorumlusu adayı (Levent Bey dahil),
* 3 farklı Teknik Analist adayı (Metin Bey dahil)

bulunmaktadır.

Kurumun etik yönetmeliği ve çalışma prensipleri gereği;
1. Proje Yöneticisi adaylarından Kemal Bey ile Saha Sorumlusu adaylarından Levent Bey'in geçmişteki husumetleri nedeniyle aynı ekipte yer almamaları,
2. Saha Sorumlusu adaylarından Levent Bey ile Teknik Analist adaylarından Metin Bey'in akrabalık bağı bulunması nedeniyle aynı ekipte çalışmamaları

istenmektedir.

Buna göre, bu Proje Yürütme Ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Ekip toplam 31 farklı şekilde oluşturulabilir.

Bu sorunun çözümünde en güvenilir yöntem, tüm olası durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıdır (Tümleyen Yöntemi). Toplam durum sayısı

3 \times 4 \times 3 = 36

'dır. İstenmeyen durumlar: 1) Kemal ve Levent'in birlikte olduğu

1 \times 1 \times 3 = 3

durum. 2) Levent ve Metin'in birlikte olduğu

3 \times 1 \times 1 = 3

durum. Ancak bu iki yasaklı grubun içinde 'Kemal-Levent-Metin' üçlüsünün olduğu durum her iki hesaplamada da vardır (Kesişim). Bu yüzden toplam istenmeyen durum sayısı

3 + 3 - 1 = 5

olur. Geriye kalan uygun durum sayısı

36 - 5 = 31

'dir.

Adım Adım Çözüm

Tüm kısıtlamalar yok sayılarak oluşturulabilecek toplam ekip sayısını hesapla.

3 (Yönetici) × 4 (Sorumlu) × 3 (Analist) = 36 farklı ekip.

Sayma kurallarından çarpma ilkesi kullanılarak genel durum bulunur.

İstenmeyen durumları (kısıtlamaları) belirle ve sayılarını hesapla.

Durum 1 (Kemal ve Levent birlikte): 1 × 1 × 3 = 3 durum.
Durum 2 (Levent ve Metin birlikte): 3 × 1 × 1 = 3 durum.

İstenmeyen durumların her biri ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

İki istenmeyen durumun kesişimini (hem Kemal, hem Levent, hem Metin'in olduğu durum) bul.

1 (Kemal) × 1 (Levent) × 1 (Metin) = 1 durum.

Kümelerde birleşim formülü (s(A∪B) = s(A) + s(B) - s(A∩B)) gereği, iki kez çıkarılan ortak kesişim kümesi belirlenmelidir.

Toplam istenmeyen durum sayısını hesapla ve tüm durumlardan çıkar.

Toplam İstenmeyen = 3 + 3 - 1 = 5.
Sonuç = 36 - 5 = 31.

Tüm durumlardan kurala uymayan durumlar çıkarılarak uygun ekip sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

İçerme-Dışlama Prensibi (Kümeler ve Sayma)

İpuçları

Problemi çözmek için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini kullanmayı deneyin.

İstenmeyen durumları hesaplarken, Kemal ve Levent'in birlikte olduğu durumlar ile Levent ve Metin'in birlikte olduğu durumları ayrı ayrı düşünün.

İki istenmeyen durumu topladığınızda, her üç ismin (Kemal, Levent, Metin) de bulunduğu durumu iki kere saymış oluyorsunuz. Bunu düzeltmek için kesişimi bir kez çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

İçerme-dışlama prensibini pekiştirmek için 3 kümeli (A, B, C dillerini bilenler) problem sorularına göz atın.

Alternatif Yöntem

Durum Analizi Yöntemi (Toplama Kuralı):
Problemi 'Levent'in seçildiği' ve 'Levent'in seçilmediği' durumlar olarak ikiye ayırın.
1. Durum (Levent YOK): Yönetici (3) × Sorumlu (Levent hariç 3) × Analist (3) = 27 durum.
2. Durum (Levent VAR): Yönetici (Kemal hariç 2) × Sorumlu (1) × Analist (Metin hariç 2) = 4 durum.
Toplam: 27 + 4 = 31 durum.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunun Bilgi İşlem Dairesi Başkanlığı, geliştirilen yazılım projelerini takip etmek amacıyla üç bileşenden oluşan bir "Proje Kayıt Kodu" sistemi oluşturmuştur.

Bu kodlama sisteminin bileşenleri ve seçenekleri aşağıdaki gibidir:

1. Hizmet Alanı: Eğitim, Sağlık, Adalet (3 seçenek)
2. Erişim Türü: Web, Mobil, Kiosk (3 seçenek)
3. Veri Gizliliği: Standart, Yüksek (2 seçenek)

Proje kodları oluşturulurken aşağıdaki sınırlamalara uyulması zorunludur:

* Adalet alanındaki projelerin tamamı Yüksek gizlilik seviyesinde olmalıdır.
* Sağlık alanındaki projeler için Kiosk erişim türü kullanılamamaktadır.
* Yüksek gizlilik gerektiren Eğitim projeleri Web üzerinden sunulmamaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı Proje Kayıt Kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Geçerli koşulları sağlayan toplam 12 farklı proje kodu oluşturulabilir.

Soruda verilen üç değişken (Hizmet Alanı, Erişim Türü, Gizlilik) birbirine bağımlı kısıtlamalar içerdiğinden, hesaplamayı Hizmet Alanlarına göre parçalara ayırarak yapmak (Toplama Yoluyla Sayma) en doğru yöntemdir. Adalet için 3, Sağlık için 4 ve Eğitim için 5 geçerli durum vardır. Bunların toplamı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

Her bir hizmet alanı için olası durumları ayrı ayrı analiz et.

Eğitim, Sağlık ve Adalet alanları için geçerli kombinasyonlar hesaplanacaktır.

Kısıtlamalar hizmet alanlarına göre değiştiği için toplama yoluyla sayma ilkesini kullanmak en güvenilir yöntemdir.

Adalet alanı için geçerli durumları hesapla.

Adalet projeleri sadece 'Yüksek' gizlilikte olabilir (1 seçenek). Erişim türünde kısıtlama yoktur (Web, Mobil, Kiosk = 3 seçenek). Toplam: 1 × 3 = 3 durum.

'Adalet alanındaki projelerin tamamı Yüksek gizlilik seviyesinde olmalıdır' kuralı uygulandı.

Sağlık alanı için geçerli durumları hesapla.

Sağlık projeleri 'Kiosk' olamaz (Geriye Web, Mobil kalır = 2 seçenek). Gizlilik kısıtlaması yoktur (Standart, Yüksek = 2 seçenek). Toplam: 2 × 2 = 4 durum.

'Sağlık alanındaki projeler için Kiosk erişim türü kullanılamamaktadır' kuralı uygulandı.

Eğitim alanı için geçerli durumları hesapla.

İki duruma ayıralım: 1) Gizlilik 'Standart' ise: Erişim Web, Mobil, Kiosk olabilir (3 durum). 2) Gizlilik 'Yüksek' ise: Erişim Web olamaz (Mobil, Kiosk kalır = 2 durum). Toplam: 3 + 2 = 5 durum.

'Yüksek gizlilik gerektiren Eğitim projeleri Web üzerinden sunulmamaktadır' kuralı uygulandı.

Tüm alanlardan elde edilen sonuçları topla.

Adalet (3) + Sağlık (4) + Eğitim (5) = 12 farklı kod.

Hizmet alanları ayrık kümeler olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma Prensibi)

İpuçları

Toplam olası durum sayısından gitmek yerine, her bir Hizmet Alanı (Eğitim, Sağlık, Adalet) için geçerli durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplamayı deneyin.

Adalet alanı için 'Gizlilik' seçeneği sadece 1 tanedir (Yüksek). Sağlık alanı için 'Erişim' seçeneği 2 tanedir (Web, Mobil).

Eğitim alanı için iki durumu ayrı düşünün: Gizlilik 'Standart' ise tüm erişimler serbesttir. Gizlilik 'Yüksek' ise Web yasaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, rakamları farklı 3 basamaklı sayı oluşturma problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar Yöntemi: Toplam durum (3×3×2 = 18). Çıkarılacaklar: 1) Adalet+Standart (3 durum), 2) Sağlık+Kiosk (2 durum), 3) Eğitim+Yüksek+Web (1 durum). 18 - (3+2+1) = 12.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumu yemekhanesinde günlük menüde 3 farklı çorba, 5 farklı ana yemek ve 2 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Bir kurum çalışanı öğle yemeği için; bir çorba ve bir ana yemek veya bir ana yemek ve bir tatlı seçmek istemektedir. Buna göre, bu çalışan yemeğini kaç farklı şekilde seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Kurum çalışanı yemeğini 25 farklı şekilde seçebilir.

Çalışan iki farklı senaryodan birini tercih edecektir. İlk senaryo (çorba VE ana yemek) çarpma kuralına göre 15 farklı şekilde gerçekleşir. İkinci senaryo (ana yemek VE tatlı) ise 10 farklı şekilde gerçekleşir. Bu iki senaryo 'veya' bağlacı ile birbirine bağlı olduğu için, sonuçlar toplama kuralı ile birleştirilerek 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

Çorba ve ana yemek ikilisinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayınız.

3 \times 5 = 15

farklı seçim.

'Ve' bağlacı kullanıldığında, birbirine bağlı olayların sayıları çarpma kuralı ile hesaplanır.

Ana yemek ve tatlı ikilisinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayınız.

5 \times 2 = 10

farklı seçim.

Yine 've' bağlacı gereği, ana yemek ve tatlı sayıları çarpılır.

Bulunan iki farklı durumun toplam seçenek sayısını bulunuz.

15 + 10 = 25

farklı seçim.

'Veya' bağlacı, birbirinden ayrık durumların (olayların) toplama kuralı ile birleştirilmesini gerektirir.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları: Çarpma ve Toplama İlkesi

İpuçları

Sorudaki 've' ile 'veya' bağlaçlarına dikkat edin; biri çarpma, diğeri toplama işlemini işaret eder.

Önce sadece (çorba ve ana yemek) kaç farklı şekilde seçilir bunu bulun, sonra (ana yemek ve tatlı) durumunu hesaplayın.

Birinci grup

3 \times 5

, ikinci grup

5 \times 2

şeklindedir; bu iki sonucu toplamanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Bağlaçların yerini değiştirerek (örneğin sadece bir çorba veya bir ana yemek veya bir tatlı) soruyu tekrar çözerek toplama kuralını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 9Soru →

Bir Bakanlık bünyesinde gerçekleştirilecek olan "Yılın Başarılı Personeli" ödül töreni için özel hediye paketleri hazırlanacaktır. Hediye seçenekleri arasında 4 farklı kurumsal ajanda ve 6 farklı dolma kalem seti bulunmaktadır. Her bir hediye paketi, bir ajanda ve bir dolma kalem setinden oluşacaktır. Buna göre, bir ajanda ve bir kalem setinden oluşan kaç farklı hediye paketi oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Ajanda ve kalem setinden oluşan 24 farklı hediye paketi oluşturulabilir.

Soruda her paketin bir ajanda ve bir kalem setinden oluşacağı belirtilmiştir. Birinci grup (ajandalar) için 4 farklı seçenek, ikinci grup (kalem setleri) için 6 farklı seçenek vardır. Bu iki seçim birbirinden bağımsız ancak bir paket içinde birleştirildiği için çarpma kuralı geçerlidir. Toplam paket sayısı

4 \times 6 = 24

olur.

Adım Adım Çözüm

Seçenek sayılarını belirleyin.

Ajanda sayısı:

4

, Kalem seti sayısı:

6

Sayma kuralını uygulamak için her bir gruptaki eleman sayısını bilmemiz gerekir.

Bağlacı ve işlem türünü analiz edin.

Bağlaç "ve" olduğu için Çarpma Kuralı uygulanmalıdır.

"Ve" bağlacı, her iki gruptan da seçim yapılacağını ve bu seçimlerin birbirine bağlı olduğunu (birleştirildiğini) gösterir.

Çarpma işlemini gerçekleştirin.

4 \times 6 = 24

Birinci grup için

4

, ikinci grup için

6

seçenek varsa toplam durum sayısı bu seçeneklerin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel İlkesi: Çarpma Kuralı

İpuçları

Soruda kaç farklı ürün grubu olduğunu ve her birinden kaçar seçenek bulunduğunu listeleyin.

Soruda geçen "ve" bağlacına dikkat edin. Eğer iki farklı gruptan birer seçim yapıp bunları birleştiriyorsak hangi kuralı kullanıyorduk?

Birinci gruptan yapılacak her bir seçim için ikinci gruptaki seçeneklerin tamamını kullanabilirsiniz. Yani her bir ajanda için 6 farklı kalem seti seçeneği mevcuttur. Bu durumda

4

adet

6

'yı toplamalı veya kısaca çarpmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Bağlacı 'veya' yaparak soruyu tekrar çözmeyi deneyin. Eğer sadece bir hediye seçilecek olsaydı sonuç kaç olurdu?

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir İl Afet ve Acil Durum Müdürlüğü (AFAD), olası bir doğal afet senaryosu için özel bir 'Kriz Müdahale Ekibi' oluşturacaktır. Müdürlüğün elindeki mevcut personel havuzu ve sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel Ünvanı	Mevcut Sayı
Arama Kurtarma Teknisyeni	4
İlk Yardım Uzmanı	5
Lojistik Sorumlusu	3

Oluşturulacak 4 kişilik bu ekip için aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

1. Ekipte her ünvandan en az bir personel bulunmalıdır.
2. Personel havuzunda bulunan Arama Kurtarma Teknisyeni Ali Bey ile İlk Yardım Uzmanı Berna Hanım evli oldukları için, kurum yönetmeliği gereği aynı operasyon ekibinde yer alamazlar.

Buna göre, bu Kriz Müdahale Ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

222

246

258

270

285

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 246

Cevap

Kurallara uygun 246 farklı ekip oluşturulabilir.

Soruda verilen kısıtlamalar altında doğru hesaplama yöntemi 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' ilkesine dayanır. Öncelikle 4 kişilik ekipte her branştan en az bir kişi olma şartı, ekibin dağılımının (2,1,1) şeklinde olmasını gerektirir. Bu şartı sağlayan toplam 270 farklı ekip kurulabilir. Ancak Ali ve Berna'nın birlikte çalışamayacağı belirtildiğinden, bu ikilinin birlikte bulunduğu ve yine (2,1,1) şartını sağlayan 24 durum (9+12+3) genel toplamdan çıkarılmalıdır. Sonuç olarak

270 - 24 = 246

bulunur.

Adım Adım Çözüm

Ekip yapısının belirlenmesi

4 kişilik ekipte 3 farklı branştan en az 1 kişi olacağı için dağılım (2, 1, 1) şeklinde olmalıdır.

Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 farklı grup var. Bu ancak bir gruptan 2, diğerlerinden 1'er kişi seçilerek mümkündür.

Tüm durumların (kısıtlama olmadan) hesaplanması

Durum 1 (2 Teknisyen, 1 Uzman, 1 Lojistik):

C(4,2) \cdot C(5,1) \cdot C(3,1) = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90

Durum 2 (1 Teknisyen, 2 Uzman, 1 Lojistik):

C(4,1) \cdot C(5,2) \cdot C(3,1) = 4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

Durum 3 (1 Teknisyen, 1 Uzman, 2 Lojistik):

C(4,1) \cdot C(5,1) \cdot C(3,2) = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

Toplam =

90 + 120 + 60 = 270

Toplama ve çarpma kuralı kullanılarak olası tüm kombinasyonlar hesaplanır.

İstenmeyen durumların (Ali ve Berna birlikte) hesaplanması

Ali (A) ve Berna (B) seçildiğinde kalan 2 kişi seçilmelidir (biri mutlaka Lojistik olmalı).
Durum 1 (Ali + 1 Teknisyen, Berna, 1 Lojistik):

1 \cdot C(3,1) \cdot 1 \cdot C(3,1) = 9

Durum 2 (Ali, Berna + 1 Uzman, 1 Lojistik):

1 \cdot 1 \cdot C(4,1) \cdot C(3,1) = 12

Durum 3 (Ali, Berna, 2 Lojistik):

1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot C(3,2) = 3

Toplam İstenmeyen =

9 + 12 + 3 = 24

Ali ve Berna'nın aynı anda bulunduğu durumlar hesaplanarak genel toplamdan çıkarılacaktır.

Sonucun bulunması

270 - 24 = 246

Tüm durumlardan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Sayma Kuralları (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

Bu tür sorularda doğrudan 'ayrık' ekipleri saymak zordur. Bunun yerine, hiçbir yasak yokmuş gibi 'Tüm Durumları' hesaplayıp, sonra yasaklı durumu (Ali ve Berna'nın birlikte olduğu durumları) çıkarmayı deneyin.

Ekip 4 kişilik ve 3 farklı branş var. Her branştan en az bir kişi olması için, bir branştan 2 kişi, diğerlerinden 1'er kişi seçilmelidir. Bu üç farklı durumu (2-1-1, 1-2-1, 1-1-2) ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

İstenmeyen durumda Ali (Arama Kurtarma) ve Berna (İlk Yardım) kesinlikle seçilmiştir. Geriye seçilmesi gereken 2 kişi kalır ve bunlardan en az biri Lojistikçi olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan alt durumları hesaplayıp toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'En az 2 doktorun bulunduğu' gibi alt sınır içeren bir komisyon problemi çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Direkt Yöntem: Ali'nin olup Berna'nın olmadığı + Berna'nın olup Ali'nin olmadığı + İkisinin de olmadığı durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı gerektirir ve hata riski daha yüksektir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumunun belge yönetim biriminde, gelen evraklar 'Fiziksel' veya 'Elektronik' olmak üzere iki farklı yöntemden yalnızca biri seçilerek kayıt altına alınmaktadır.

Fiziksel kayıt yönteminde; kurum stoğunda bulunan 4 farklı renkteki dosya türünden biri ve 5 farklı boyuttaki etiket türünden biri seçilerek eşleştirme yapılmaktadır.

Elektronik kayıt yönteminde ise; sisteme tanımlı 6 farklı güvenlik kodundan biri seçilerek işlem tamamlanmaktadır.

Buna göre, bu birime gelen bir evrak kaç farklı şekilde kayıt altına alınabilir?

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Evrak toplam 26 farklı şekilde kayıt altına alınabilir.

Soru, saymanın temel ilkeleri olan çarpma ve toplama kurallarının birlikte kullanımını gerektirir. Fiziksel kayıt işlemi kendi içinde birbirine bağlı iki aşamadan (dosya ve etiket seçimi) oluştuğu için çarpma kuralı uygulanır:

4 \times 5 = 20

seçenek. Elektronik kayıt ise fiziksel kayıttan bağımsız, alternatif bir durumdur. Bu nedenle 'veya' mantığıyla toplama kuralı devreye girer:

20 + 6 = 26

farklı yol vardır.

Adım Adım Çözüm

Fiziksel kayıt seçeneklerini hesapla

4 renk x 5 etiket = 20 farklı seçenek

Fiziksel kayıtta hem dosya rengi HEM DE etiket seçildiği için 've' bağlacı mantığıyla çarpma kuralı uygulanır.

Elektronik kayıt seçeneklerini belirle

6 farklı seçenek

Elektronik kayıtta tek bir seçim (güvenlik kodu) yapılmaktadır.

Toplam durumu hesapla

20 + 6 = 26

Kayıt işlemi fiziksel VEYA elektronik yöntemden sadece biriyle yapıldığı için, iki durumun sonuçları toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Ayrık olaylarda toplama, birbirine bağlı sıralı olaylarda çarpma kuralı uygulanır.

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumunun yürüteceği disiplinler arası bir çalışma için A Bakanlığından $4$ , B Bakanlığından $5$ ve C Bakanlığından $3$ uzman belirlenmiştir. Çalışma grubu oluşturulurken şu iki alternatiften birinin uygulanmasına karar verilmiştir:

* I. Alternatif: Her biri farklı bir bakanlıktan seçilmek üzere toplam $2$ uzman görevlendirilecektir.
* II. Alternatif: Her bir bakanlıktan birer uzman olmak üzere toplam $3$ uzman görevlendirilecektir.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

47

60

107

12

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $107$

Cevap

Çalışma grubunun oluşturulabileceği tüm alternatif durumların toplamı olan

107

sayısı doğrudur.

Çözümde I. Alternatif için A-B, A-C ve B-C bakanlıkları arasındaki uzman seçimleri çarpılıp toplanarak

47

sonucuna ulaşılır. II. Alternatif için her üç bakanlıktan birer kişi seçimi

60

farklı durum oluşturur. Bu iki ayrık alternatifin toplamı olan

107

, tüm olası senaryoları kapsar.

Adım Adım Çözüm

I. Alternatif kapsamında iki farklı bakanlıktan seçilecek uzman ikilileri için tüm durumları (AB, AC, BC) hesapla.

(4 \times 5) + (4 \times 3) + (5 \times 3) = 20 + 12 + 15 = 47

Çarpma yoluyla sayma kuralına göre her bir ikili grup için uzman sayıları çarpılır ve bu farklı durumlar toplanır.

II. Alternatif kapsamında her bakanlıktan birer uzman seçilecek durumu (ABC) hesapla.

4 \times 5 \times 3 = 60

Üç farklı olay birlikte gerçekleştiği için uzman sayıları çarpma kuralı uyarınca çarpılır.

Her iki alternatif birbirinden bağımsız ve ayrık durumlar olduğu için sonuçları topla.

47 + 60 = 107

Toplama yoluyla sayma kuralına göre ayrık alternatiflerin sonuçları birleştirilir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları: Ayrık durumların toplamı ve bağımlı olayların çarpımı (Toplama ve Çarpma İlkeleri)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 13Soru →

Bir belediyenin İmar ve Şehircilik Müdürlüğü, yapı ruhsatı başvurularını sınıflandırmak amacıyla üç haneli bir kodlama sistemi geliştirmiştir. Bu kodlama sistemi sırasıyla Birim, Kat Sayısı ve Bölge verilerinden oluşmaktadır.

Kullanılabilecek veri setleri şunlardır:
* Birim Kodu: {K, L, M, N, P} (5 farklı birim)
* Kat Sayısı: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 farklı kat seçeneği)
* Bölge Kodu: {A, B, C} (3 farklı bölge)

Kodlama kuralları şu şekildedir:
1. K ve L birimleri; tüm kat sayıları için işlem yapabilmekte ancak 'C' bölgesine ait dosyalara bakmamaktadır.
2. M birimi; yalnızca 4'ten büyük kat sayıları için işlem yapmakta olup tüm bölgelere hizmet verebilmektedir.
3. N ve P birimleri; yalnızca 1 veya 2 katlı yapılar için işlem yapmakta olup sadece 'A' veya 'C' bölgelerine hizmet vermektedir.

Buna göre, bu kurallara tamamen uygun kaç farklı dosya kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Verilen kısıtlamalara göre toplam 38 farklı kod oluşturulabilir.

Bu soru, sayma kurallarının kısıtlamalı durumlara uygulanmasını ölçmektedir. Birim kodları farklı kurallara tabi olduğundan, problem üç ayrı duruma bölünerek incelenmelidir. Birinci durumda (K, L) 2 birim, 6 kat ve 2 bölge (C hariç) olduğundan 2x6x2=24 kod üretilir. İkinci durumda (M) 1 birim, 2 kat (4'ten büyük: 5,6) ve 3 bölge olduğundan 1x2x3=6 kod üretilir. Üçüncü durumda (N, P) 2 birim, 2 kat (1,2) ve 2 bölge (A, C) olduğundan 2x2x2=8 kod üretilir. Toplama kuralı gereği bu ayrık durumlar toplanır: 24 + 6 + 8 = 38.

Adım Adım Çözüm

Problemi, 'Birim Kodu'nun kısıtlamalarına göre üç ayrık duruma ayır.

Durum 1: K ve L birimleri, Durum 2: M birimi, Durum 3: N ve P birimleri.

Toplama yoluyla sayma kuralını uygulayabilmek için olayları kesişim kümesi olmayan (ayrık) durumlara bölmek gerekir.

Durum 1 (K ve L Birimleri) için olası kod sayısını hesapla.

Birim: {K, L} (2 seçenek) x Kat: {1..6} (6 seçenek) x Bölge: {A, B} (C hariç, 2 seçenek) = 2 x 6 x 2 = 24 kod.

Çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Durum 2 (M Birimi) için olası kod sayısını hesapla.

Birim: {M} (1 seçenek) x Kat: {5, 6} (4'ten büyük, 2 seçenek) x Bölge: {A, B, C} (3 seçenek) = 1 x 2 x 3 = 6 kod.

Kat sayısı kısıtlaması (x > 4) sadece 5 ve 6'yı içerir.

Durum 3 (N ve P Birimleri) için olası kod sayısını hesapla.

Birim: {N, P} (2 seçenek) x Kat: {1, 2} (2 seçenek) x Bölge: {A, C} (Sadece A veya C, 2 seçenek) = 2 x 2 x 2 = 8 kod.

Birim ve bölge kısıtlamaları uygulanır.

Tüm durumlardan elde edilen sonuçları topla.

24 + 6 + 8 = 38.

Ayrık durumların toplamı, genel toplamı verir (Toplama Kuralı).

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Ayrık Durumları Toplama ve Durum İçi Çarpma)

Soru 14Soru →

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 5 ile tam bölünebilen ve 340'tan büyük üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14 farklı sayı yazılabilir.

Verilen küme ile 340'tan büyük ve 5'e bölünebilen sayıları bulmak için problem iki ana duruma ayrılır: birler basamağı 0 olanlar ve 5 olanlar. Birler basamağı 0 iken 9 sayı (350, 410, 420, 430, 450, 510, 520, 530, 540) ve birler basamağı 5 iken 5 sayı (345, 405, 415, 425, 435) bulunur. Toplamda 14 sayı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Koşulları Belirleme

Sayılar 3 basamaklı, rakamları farklı, 5 ile bölünebilir (sonu 0 veya 5) ve 340'tan büyük olmalıdır.

Sayma problemini çözülebilir alt durumlara ayırmak gerekir.

1. Durum: Sonu 0 olan sayıları inceleme (XX0)

Yüzler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Eğer yüzler basamağı 3 ise sayı 3b0 olur; 340'tan büyük olması için b=5 olmalıdır (350) -> 1 adet. Eğer yüzler basamağı 4 ise (4b0), b kalan {1,2,3,5} kümesinden 4 farklı değer alabilir -> 4 adet. Eğer yüzler basamağı 5 ise (5b0), b kalan {1,2,3,4} kümesinden 4 farklı değer alabilir -> 4 adet. Toplam: 1 + 4 + 4 = 9 sayı.

Son basamak 0 olduğunda rakamları farklı kuralı diğer basamakları daha az kısıtlar.

2. Durum: Sonu 5 olan sayıları inceleme (XX5)

Yüzler basamağı {3, 4} olabilir (5 sonda kullanıldı). Eğer yüzler basamağı 3 ise (3b5), 340'tan büyük olması için b=4 olmalıdır (345) -> 1 adet. Eğer yüzler basamağı 4 ise (4b5), b kalan {0,1,2,3} kümesinden 4 farklı değer alabilir -> 4 adet. Toplam: 1 + 4 = 5 sayı.

Son basamak 5 olduğunda, yüzler basamağında 5 rakamı kullanılamaz.

Toplamı Hesaplama

9 (sonu 0) + 5 (sonu 5) = 14 farklı sayı.

Toplama kuralı gereği ayrık durumların sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma) - Kısıtlı Permütasyon

İpuçları

5 ile bölünebilme kuralı gereği sayının son basamağı (birler basamağı) 0 veya 5 olmalıdır.

Problemi iki ayrı durumda inceleyin: 'Son basamağı 0 olanlar' ve 'Son basamağı 5 olanlar'. Rakamları farklı olduğu için bu durumlar kalan rakamları etkileyecektir.

340'tan büyük olma şartını her iki durum için ayrı ayrı kontrol edin. Örneğin 3 ile başlayan sayılar için onlar basamağına dikkat etmeniz gerekir.

Alternatif Yöntem

Tüm permütasyonları hesaplayıp şartı sağlamayanları çıkarmak yerine, doğrudan şartı sağlayanları 'kutu yöntemi' ile (Yüzler - Onlar - Birler) çizerek ve basamaklara gelebilecek aday sayılarını yazarak hesaplamak daha güvenlidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 15Soru →

Bir kamu kurumu, dijital arşivleme sisteminde dosyaları sınıflandırmak amacıyla üç karakterden oluşan bir "Dosya Erişim Kodu" belirleyecektir. Bu kodun yapısı ve kısıtlamaları şu şekildedir:

* 1. karakter: $\{A, B, C, D\}$ kümesinden bir harf olmalıdır.
* 2. karakter: $\{1, 2, 3, 4\}$ kümesinden bir rakam olmalıdır.
* 3. karakter: $\{A, B, C, D\}$ kümesinden, 1. karakterden farklı bir harf olmalıdır.

Özel Güvenlik Kısıtlaması: Eğer kodun 1. karakteri 'A' harfi ise, 2. karakteri '1' rakamı olamaz.

Buna göre, bu sistemde oluşturulabilecek toplam farklı "Dosya Erişim Kodu" sayısı kaçtır?

36

39

45

48

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $45$

Cevap

Sistemde oluşturulabilecek toplam farklı kod sayısı

45

'tir.

Doğru yanıt olan kırk beş seçeneğine ulaşmak için problem iki ayrı vakada incelenmelidir. İlk durumda birinci karakter 'A' olarak sabitlendiğinde, güvenlik kuralı gereği ikinci karakter için üç rakam seçeneği kalır. Üçüncü karakterin birinci karakterden farklı olması şartıyla da üç harf seçeneği mevcuttur (

1 \times 3 \times 3 = 9

). İkinci durumda birinci karakter 'B', 'C' veya 'D'den biri seçildiğinde (

3

seçenek), ikinci karakter için kısıtlama kalmaz (

4

seçenek) ve üçüncü karakter için yine birinci karakterden farklı üç harf seçeneği bulunur (

3 \times 4 \times 3 = 36

). Bu iki ayrık durumun toplamı kırk beşi vermektedir.

Adım Adım Çözüm

Birinci karakterin 'A' olduğu durumları hesapla

1 \times 3 \times 3 = 9

Birinci karakter 'A' (1 seçenek) ise, güvenlik kısıtlaması nedeniyle ikinci karakter

\{2, 3, 4\}

(3 seçenek) olabilir. Üçüncü karakter ise birinci karakterden farklı olacağı için

\{B, C, D\}

(3 seçenek) olabilir.

Birinci karakterin

\{B, C, D\}

olduğu durumları hesapla

3 \times 4 \times 3 = 36

Birinci karakter için 3 seçenek vardır. Bu durumda güvenlik kısıtlaması geçerli olmadığından ikinci karakter için tüm rakamlar (4 seçenek) kullanılabilir. Üçüncü karakter yine birinci karakterden farklı olacağı için kalan 3 harften biri seçilir.

Farklı durumları toplayarak toplam sonucu bul

9 + 36 = 45

Birbirinden bağımsız olan bu iki durumun toplamı, yazılabilecek tüm geçerli kodların sayısını verir.

Anahtar Kavram

Sayma kurallarında toplama ve çarpma prensiplerinin koşullu durumlara uygulanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 16Soru →

Bir mülki idare amiri, denetleme programı kapsamında $A$ ilçesinden $C$ ilçesine gidecektir. Bu iki ilçe arasındaki ulaşım imkânları şu şekildedir:

- $A$ ilçesinden $B$ ilçesine giden $4$ farklı kara yolu,
- $B$ ilçesinden $C$ ilçesine giden $5$ farklı kara yolu,
- $A$ ilçesinden $C$ ilçesine doğrudan giden (B ilçesine uğramayan) $3$ farklı demir yolu hattı bulunmaktadır.

Buna göre, bu amir $B$ ilçesine uğrayarak veya doğrudan gitmek suretiyle $A$ ilçesinden $C$ ilçesine toplam kaç farklı yoldan gidebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Mülki idare amiri A ilçesinden C ilçesine toplam 23 farklı yoldan gidebilir.

Doğru cevap 23'tür. Bu tür sorularda 've' bağlacı mantığıyla birbirini takip eden işlemler için çarpma kuralı uygulanır. A'dan B'ye 4 yol VE B'den C'ye 5 yol olduğu için

4 \times 5 = 20

farklı güzergah oluşur. 'Veya' bağlacı mantığıyla bu güzergahlara alternatif olan doğrudan 3 demir yolu hattı ise toplama kuralı gereği bu sayıya eklenir:

20 + 3 = 23

Adım Adım Çözüm

B ilçesine uğrayarak gidilen yolların sayısını hesapla.

4 \times 5 = 20

A'dan B'ye 4, B'den C'ye 5 yol olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Doğrudan gidilen yolları bu sayıya ekle.

20 + 3 = 23

B üzerinden gitmek veya doğrudan gitmek ayrık olaylar olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları: Çarpma ve Toplama

İpuçları

Önce B üzerinden kaç farklı şekilde C'ye ulaşılabileceğini düşünün.

A'dan B'ye gidip oradan C'ye devam etmek bir bütündür, bu yüzden yolları çarpmanız gerekir.

4 \times 5

işlemini yaptıktan sonra, bu sonuca doğrudan giden 3 yolu eklemelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer B'den C'ye dönüş yolları da sorulsaydı ve 'kullanılan yolun aynısı dönülmemek şartıyla' denilseydi nasıl bir işlem yapılırdı?

Alternatif Yöntem

Durumları gruplayarak sayma: 1. Durum (B'ye uğrayanlar): 4 seçenek

\times

5 seçenek = 20. 2. Durum (B'ye uğramayanlar): 3 seçenek. Toplam:

20 + 3 = 23

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumunun lojistik planlama dairesi, acil durum malzemelerinin sevkiyatı için bir Dağıtım Kodlama Sistemi geliştirmektedir. Bu sistemde oluşturulacak her bir sevkiyat kodu, sırasıyla Depo, Güzergâh ve Araç olmak üzere üç aşamalı bir seçimle belirlenmektedir.

Seçenekler kümeler halinde aşağıda verilmiştir:
* **Depo ( $D$ ):** $\{D_1, D_2, D_3, D_4, D_5\}$ (5 seçenek)
* **Güzergâh ( $G$ ):** $\{G_1, G_2, G_3, G_4\}$ (4 seçenek)
* **Araç ( $A$ ):** $\{A_1, A_2, A_3\}$ (3 seçenek)

Sistemin güvenlik ve kapasite protokolleri gereği şu kısıtlamalar uygulanmaktadır:
1. Eğer ** $D_1$ deposu seçilirse, $G_1$ ** güzergâhı kullanılamaz.
2. Eğer ** $G_1$ güzergâhı kullanılırsa (herhangi bir uygun depo için), $A_1$ ** aracı tercih edilemez.

Buna göre, bu sistemde kurallara uygun kaç farklı sevkiyat kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

Kurallara uygun toplam 53 farklı sevkiyat kodu oluşturulabilir.

Doğru cevap, problemin kısıtlamalara göre ayrık durumlara bölünmesiyle bulunur.

D_1

seçildiğinde

G_1

kullanılamadığı için

1 \times 3 \times 3 = 9

durum oluşur. Diğer 4 depo (

D_2-D_5

) seçildiğinde ise iki ihtimal vardır:

G_1

kullanılırsa araç kısıtlanır (

4 \times 1 \times 2 = 8

G_1

kullanılmazsa kısıtlama yoktur (

4 \times 3 \times 3 = 36

). Toplamda

9+8+36=53

kod üretilebilir.

Adım Adım Çözüm

Problemi birbirini etkileyen kısıtlamalara göre ayrık durumlara (vakalara) ayır.

Durum 1: Depo

D_1

seçildiği durum. Durum 2: Diğer depoların (

D_2, D_3, D_4, D_5

) seçildiği durum.

D_1

seçimi

G_1

'i doğrudan yasakladığı için bu durum diğerlerinden ayrılmalıdır.

Durum 1 (

D_1

seçimi) için olasılıkları hesapla.

Depo (

1

)

\times

Güzergâh (

3

)

\times

Araç (

3

) =

9

farklı kod.

D_1

seçildiğinde

G_1

yasak olduğu için Güzergâh kümesi

\{G_2, G_3, G_4\}

olur (3 seçenek). Araç için kısıtlama yoktur (3 seçenek).

Durum 2'yi (Diğer depolar) kendi içinde Güzergâh kısıtlamasına göre iki alt duruma ayır:

G_1

seçilenler ve seçilmeyenler.

Alt Durum 2a (

G_1

seçimi) ve Alt Durum 2b (

G_1

dışı seçimler).

G_1

seçildiğinde Araç seçimi kısıtlanmaktadır (

A_1

yasak), diğer güzergâhlarda kısıtlama yoktur.

Alt Durum 2a (Diğer Depolar +

G_1

) hesabını yap.

Depo (

4

)

\times

Güzergâh (

1

)

\times

Araç (

2

) =

8

farklı kod.

Depolar

\{D_2..D_5\}

(4 seçenek). Güzergâh

G_1

(1 seçenek). Kural gereği

G_1

seçilince

A_1

yasak, Araç

\{A_2, A_3\}

kalır (2 seçenek).

Alt Durum 2b (Diğer Depolar +

G_1

dışı) hesabını yap.

Depo (

4

)

\times

Güzergâh (

3

)

\times

Araç (

3

) =

36

farklı kod.

Depolar (4 seçenek). Güzergâh

\{G_2, G_3, G_4\}

(3 seçenek). Araç için kısıtlama yok (3 seçenek).

Tüm ayrık durumların sonuçlarını topla.

9 + 8 + 36 = 53

Toplama kuralı gereği ayrık durumlar toplanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Ayrık Durumlara Bölme ve Toplama Kuralı)

İpuçları

Problemi tek bir çarpma işlemiyle çözmeye çalışmak yerine, 'D1 deposunun seçildiği' ve 'D1 dışındaki depoların seçildiği' durumlar olarak ikiye ayırın.

D1 dışındaki depoları hesaplarken, G1 güzergahını kullanıp kullanmamaları araç seçimini etkilemektedir. Bu yüzden bu kısmı da ikiye ayırmalısınız.

Üç parçayı toplayın: 1) D1 seçilen durumlar (G1 yasak), 2) Diğer depolarla G1 seçilen durumlar (A1 yasak), 3) Diğer depolarla G1 dışı güzergah seçilen durumlar (Yasak yok).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'A kenti ile B kenti arasında gidilen yol dönüşte kullanılmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidilip dönülebilir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar Yöntemi: Toplam durum (60) - [D1 ve G1'in seçildiği durumlar (1x1x3=3)] - [G1 ve A1'in birlikte seçildiği durumlar (Dikkat: D1 zaten G1 ile olamaz, bu yüzden sadece D2-D5 arası: 4x1x1=4)]. Sonuç: 60 - 3 - 4 = 53.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Bir belediye görevlisi, 'Yöresel Tanıtım Günleri' kapsamında hazırlanan bir hediye paketine 5 farklı yerel meyve türü ve 4 farklı el sanatı ürünü arasından birer adet ekleyecektir. Buna göre, bu görevli hediye paketini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Hediye paketi 20 farklı şekilde oluşturulabilir.

Beş farklı meyve arasından bir seçim yapıldıktan sonra, bu seçimin her biri için dört farklı el sanatı seçeneği mevcuttur. Bu durum saymanın temel ilkesi olan çarpma kuralını gerektirir ve

5 \times 4 = 20

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Seçilebilecek meyve türü sayısını tespit edin.

5 farklı meyve türü bulunmaktadır.

İlk aşamadaki seçenek sayısını belirlemek için.

Seçilebilecek el sanatı ürünü sayısını tespit edin.

4 farklı el sanatı ürünü bulunmaktadır.

İkinci aşamadaki seçenek sayısını belirlemek için.

İki grup arasından birer adet seçim yapılacağı ve seçimler birbirine bağlı (ve) olduğu için çarpma kuralını uygulayın.

5 \times 4 = 20

Birbirini takip eden veya birlikte gerçekleşen olayların toplam seçenek sayısını bulmak için çarpma kuralı kullanılır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları: Çarpma Yoluyla Sayma

İpuçları

Soruda geçen 've' bağlacına dikkat edin. 'Ve' bağlacı genellikle hangi matematiksel işlemi temsil eder?

Her bir meyve seçimi için kaç farklı el sanatı ürünü seçebileceğinizi düşünün. Örneğin 1. meyveyi seçerseniz, yanına 4 farklı ürün koyabilirsiniz.

Toplam durumu bulmak için meyve sayısı ile el sanatı ürünü sayısını çarpmanız gerekmektedir.

Daha Fazla Pratik

Eğer görevli meyve 'veya' el sanatı ürününden sadece birini seçecek olsaydı sonuç kaç olurdu? (Bu durumda toplama kuralı uygulanırdı).

Tahmini Süre:45s

Soru 19Soru →

Bir kamu kurumu tarafından düzenlenecek hizmet içi eğitim semineri için planlama yapılmaktadır. Organizasyon kapsamında seçilebilecek 3 farklı "Mekan", 4 farklı "Eğitimci" ve 3 farklı "Promosyon Materyal Seti" seçeneği bulunmaktadır. Ancak, mekan seçenekleri arasında yer alan "Büyük Konferans Salonu"nun teknik altyapısı, promosyon seçeneklerinden biri olan "Dijital İçerik Paketi"nin dağıtımı için uygun değildir.

Buna göre; bir mekan, bir eğitimci ve bir promosyon materyal setinin seçileceği bu seminer organizasyonu kaç farklı şekilde planlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Organizasyon toplam 32 farklı şekilde planlanabilir.

Toplam seçenek sayısı hesaplanırken çarpma kuralı kullanılır:

3 \times 4 \times 3 = 36

. Kısıtlamaya göre 'Büyük Konferans Salonu' ve 'Dijital İçerik Paketi' aynı anda seçilemez. Bu ikilinin bir araya geldiği durumlar, 4 farklı eğitimci ile birleşebileceğinden

1 \times 1 \times 4 = 4

adettir. Toplam durumdan bu istenmeyen durumlar çıkarılır:

36 - 4 = 32

Adım Adım Çözüm

Kısıtlama olmaksızın oluşabilecek tüm olası durumların sayısını hesapla.

3 Mekan x 4 Eğitimci x 3 Promosyon Seti = 36 farklı durum.

Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği, bağımsız seçimlerin sayıları çarpılır.

Teknik olarak uygun olmayan (yasaklı) durumların sayısını hesapla.

1 (Yasaklı Mekan) x 1 (Yasaklı Set) x 4 (Eğitimci) = 4 yasaklı durum.

Büyük Konferans Salonu ve Dijital İçerik Paketi'nin birlikte seçildiği durumda, eğitimci kim olursa olsun (4 seçenek) organizasyon yapılamaz.

Tüm durumlardan yasaklı durumları çıkararak geçerli plan sayısını bul.

36 - 4 = 32.

Tüm olasılıklardan istenmeyen durumlar çıkarıldığında geriye istenen durumlar kalır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Çarpma Prensibi ve Koşullu Sayma)

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'A şehrinden B şehrine 3, B'den C'ye 4 yol vardır. Gidişte kullanılan yolun dönüşte kullanılmaması şartıyla kaç farklı şekilde gidilip dönülebilir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplama yoluyla sayma:
1. Durum (Büyük Konferans Salonu Seçilirse): Bu mekan için sadece 2 uygun promosyon seti vardır.

1 \text{ (Mekan)} \times 4 \text{ (Eğitimci)} \times 2 \text{ (Set)} = 8

durum.
2. Durum (Diğer Mekanlar Seçilirse): Diğer 2 mekan için tüm promosyon setleri uygundur.

2 \text{ (Mekan)} \times 4 \text{ (Eğitimci)} \times 3 \text{ (Set)} = 24

durum.
Toplam:

8 + 24 = 32

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir bakanlık bünyesindeki Teftiş Kurulu, yıllık çalışma planı kapsamında 5 farklı hizmet birimini (Merkez, Arşiv, Lojistik, Teknik ve Personel) denetleyecektir. Bu birimlerin denetim sırasıyla ilgili aşağıdaki kurallar bilinmektedir:

* Denetimler sırasıyla yapılacak ve her birim yalnızca bir kez denetlenecektir.
* Merkez birimi, Arşiv biriminden daha önce denetlenecektir.
* Teknik ve Personel birimlerinin denetimi art arda (peş peşe) yapılmayacaktır.
* Lojistik birimi ilk sırada denetlenmeyecektir.

Buna göre, bu denetim programı kaç farklı sıralama ile oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Denetim sıralaması 30 farklı şekilde oluşturulabilir.

Soruda verilen üç farklı kısıtın (sıra önceliği, ayrıklık ve konum yasağı) aşamalı olarak uygulanması gerekir. Toplam 120 olasılıktan, önce Merkez-Arşiv sırası (60), sonra Teknik-Personel ayrıklığı (36), en son Lojistik konumu (30) süzüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Tüm koşulsuz sıralamaları hesapla ve 'Merkez önce' kısıtını uygula.

5 birim için toplam 120 sıralama vardır. Simetri gereği yarısında Merkez, Arşiv'den öncedir: 120 / 2 = 60 durum.

Permütasyon formülü P(n,n) = n! ve simetri kuralı.

Teknik ve Personel birimlerinin yan yana olduğu istenmeyen durumları hesapla.

Teknik ve Personel birimini tek bir blok [TP] kabul edelim. Blok kendi içinde 2 farklı şekilde (TP veya PT) sıralanabilir. Kalan birimlerle (Merkez, Arşiv, Lojistik, [Blok]) toplam 4 nesne oluşur. 4! = 24 sıralama vardır. Toplam yan yana durumlar: 24 x 2 = 48. Bu 48 durumun yarısında Merkez, Arşiv'den öncedir: 24 durum.

İstenmeyen 'bitişik' durumları kümeleyerek (bloklama yöntemi) çıkarma işlemi yapmak için.

İlk iki kısıtı sağlayan küme sayısını bul (Adım 1 - Adım 2).

60 (Merkez önce) - 24 (Merkez önce VE TP bitişik) = 36 sıralama.

Kümelerde fark işlemi.

Lojistik biriminin 'ilk sırada' olduğu durumları bu 36 durumdan çıkar.

Lojistik'i 1. sıraya sabitleyelim. Kalan 4 birim (Merkez, Arşiv, Teknik, Personel) 2., 3., 4. ve 5. sıralara yerleşecektir. Bu alt problemde, Merkez yine Arşiv'den önce olmalı ve Teknik ile Personel yan yana gelmemelidir. 4 birim için: (Adım 1 ve 2 mantığıyla) Toplam 24, yarısında M önce (12). TP bloklu 3!x2=12, yarısında M önce (6). Yani Lojistik başta iken geçerli durum sayısı: 12 - 6 = 6.

Son kısıt olan 'Lojistik ilk olamaz' kuralını sağlamak için.

Sonuç hesaplaması.

36 (İlk iki kısıt sonucu) - 6 (Lojistik başta olanlar) = 30.

Nihai sonuç.

Anahtar Kavram

İçerme-Dışlama Prensibi ve Bloklama Yöntemi

İpuçları

Önce tüm kısıtlamaları yok sayarak toplam sıralama sayısını bulun, ardından 'Merkez Arşiv'den önce' şartı ile bu sayıyı yarıya indirin.

Teknik ve Personel birimlerini 'ayrılmaz bir paket' gibi düşünerek (bloklama yöntemi), bunların yan yana olduğu durumları hesaplayın ve toplamdan çıkarın.

Bulduğunuz sonuçtan, 'Lojistik' biriminin 1. sırada olduğu ve diğer tüm şartların sağlandığı durum sayısını da çıkarmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'yuvarlak masa etrafında oturma' kısıtlarını içeren dairesel permütasyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Lojistik biriminin olabileceği konumları (2, 3, 4 veya 5. sıra) baz alarak toplama yoluyla sayma yapılabilir, ancak bu yöntem çok daha fazla durum incelemesi gerektirir.

Tahmini Süre:4m 0s

Sayfa 1 / 2Sonraki

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem