x ve y sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x + y = 6 \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, x \cdot y çarpımı kaçtır?

x ve y sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x + y = 6 \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x}… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

y

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x + y = 6

\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

x \cdot y

çarpımı kaçtır?

İstenen çarpımın değeri 6'dır.

Verilen rasyonel denklem düzenlendiğinde

x^3+y^3 = 18xy

elde edilir. Küp toplamı özdeşliği

(x+y)((x+y)^2 - 3xy)

biçiminde yazılıp

x+y=6

değeri yerine konulduğunda,

6(36-3xy)=18xy

denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde

xy=6

sonucu bulunur.

İkinci denklemde payda eşitlemesi yapılır.

\frac{x^3 + y^3}{x \cdot y} = 18 \implies x^3 + y^3 = 18xy

Rasyonel ifadeleri tek bir kesir haline getirerek pay kısmında küp toplamı özdeşliğini yakalamak için.

İki küp toplamı özdeşliği (

x^3 + y^3

) çarpanlarına ayrılır.

(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy

Verilen

x+y

değerini kullanabilmek için ifadeyi açmak gerekir.

Tam kare özdeşliğinden faydalanarak

x^2 + y^2

terimi

x+y

cinsinden yazılır.

x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy

Bu ifade önceki adımda yerine konulursa:

(x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = 18xy

(x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 18xy

Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltmak ve sadece

xy

çarpımına bağlı bir denklem elde etmek için.

x+y = 6

değeri denklemde yerine yazılır ve

xy

çözülür.

6(6^2 - 3xy) = 18xy

6(36 - 3xy) = 18xy

Eşitliğin her iki tarafı 6 ile bölünür:

36 - 3xy = 3xy

36 = 6xy

xy = 6

Sonuca ulaşmak için gerekli cebirsel işlemlerin tamamlanması.

İki Küp Toplamı ve Tam Kare Özdeşlikleri