Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi veriliyor. f:A→Af: A \rightarrow A tanımlanan fonksiyonu birebir bir fonksiyondur.

f(1)+f(2)+f(3)=15f(1) + f(2) + f(3) = 15
f(4)=2f(4) = 2

olduğuna göre, f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    3
  2. 4Cevap
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

Birebir fonksiyon özelliğine göre geriye kalan elemanların toplamı 4'tür.
Fonksiyon birebir olduğu için her elemanın görüntüsü farklıdır. Değer kümesindeki tüm elemanların toplamı 21'dir. f(1)+f(2)+f(3)=15f(1)+f(2)+f(3)=15 ve f(4)=2f(4)=2 bilgileri kullanıldığında, tüm görüntülerin toplamı olan 21'den bu değerler çıkarılırsa (21 - 15 - 2 = 4) geriye kalan iki elemanın toplamı doğrudan bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım ve değer kümesini analiz etme
f:A→Af: A \rightarrow A olduğu için görüntüler kümesi de {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} elemanlarından oluşmalıdır.
Birebir ve aynı kümeden aynı kümeye tanımlı fonksiyonlar örten olmak zorundadır.
2
Verilen f(4)f(4) değerini çıkarma
f(4)=2f(4) = 2 olarak verilmiştir. Geriye kalan {f(1),f(2),f(3),f(5),f(6)}\{f(1), f(2), f(3), f(5), f(6)\} değerleri {1,3,4,5,6}\{1, 3, 4, 5, 6\} kümesinden seçilmelidir.
Birebir fonksiyon her elemanı farklı bir elemana eşler.
3
Toplamı 15 olan üçlü grubu belirleme
{1,3,4,5,6}\{1, 3, 4, 5, 6\} kümesinden toplamları 15 olan üç farklı sayı yalnızca {4,5,6}\{4, 5, 6\} olabilir (4+5+6=154+5+6=15).
Diğer kombinasyonların toplamı 15'ten küçüktür.
4
Sonucu hesaplama
Geriye kalan görüntüler {1,3}\{1, 3\} olmak zorundadır. Dolayısıyla f(5)+f(6)=1+3=4f(5) + f(6) = 1 + 3 = 4 bulunur.
Bütün elemanlar eşlendiğinde geriye kalan tek ihtimal budur.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda her tanım elemanı değer kümesinden farklı bir elemanla eşleşir.

İpuçları

1
Değer kümesindeki tüm elemanların toplamını hesaplamayı deneyin.
2
Fonksiyon birebir ve A'dan A'ya olduğu için görüntüler kümesi de A kümesinin kendisidir.
3
Tüm görüntülerin toplamı 1+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6 = 21 olmalıdır. Verilen değerleri bu toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Eğer fonksiyon sabit olsaydı, verilen toplam bilgisinden hareketle f(5)+f(6) kaç olurdu?

Alternatif Yöntem

A kümesinin elemanları toplamı 21'dir. Fonksiyon birebir ve örten olduğu için görüntülerinin toplamı da 21 olmalıdır. 15+2+(f(5)+f(6))=2115 + 2 + (f(5)+f(6)) = 21 denkleminden f(5)+f(6)=4f(5)+f(6) = 4 sonucu kolayca bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru