Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜslü İfadeler
xx ve yy gerçel sayıları için,
3x+3y=36 3^x + 3^y = 36
x+y=5 x + y = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, ∣x−y∣|x - y| ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 1Cevap
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Verilen x+y=5x+y=5 eşitliğinden 3x+y=35=2433^{x+y}=3^5=243 elde edilir. Bu ifade 3x⋅3y=2433^x \cdot 3^y = 243 demektir. Soruda ayrıca 3x+3y=363^x + 3^y = 36 verilmiştir. Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı 27 ve 9'dur. Bu durumda 3x=273^x=27 ise x=3x=3, 3y=93^y=9 ise y=2y=2 olur. İstenen ∣x−y∣|x-y| değeri ∣3−2∣=1|3-2|=1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki ikinci denklemi kullanarak, 3 tabanında çarpım eşitliği oluşturulur.
x+y=5  ⟹  3x+y=35=243 x+y=5 \implies 3^{x+y} = 3^5 = 243
Üslü sayılarda toplama işleminin çarpıma dönüşmesi özelliğini kullanmak için.
2
Elde edilen ifadeyi üslü sayı kuralına göre düzenleriz.
3x⋅3y=243 3^x \cdot 3^y = 243
Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üsler toplanır kuralının tersini uygulamak.
3
Verilen iki denklemi bir sistem olarak yazarız.
Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı aranır: a+b=36 a + b = 36 , a⋅b=243 a \cdot b = 243 (a=3x,b=3ya=3^x, b=3^y)
Soruyu ikinci dereceden denklem kök bulma problemine dönüştürmek.
4
Bu şartı sağlayan sayıları buluruz.
Bu sayılar 27 ve 9'dur. (27+9=3627 + 9 = 36 ve 27⋅9=24327 \cdot 9 = 243)
Denklemi sağlayan 3x3^x ve 3y3^y değerlerini tespit etmek.
5
Bulunan değerleri x ve y'ye eşitler ve farkı hesaplarız.
3x=27  ⟹  x=3 3^x = 27 \implies x=3 ve 3y=9  ⟹  y=2 3^y = 9 \implies y=2 (veya tam tersi). ∣x−y∣=∣3−2∣=1 |x-y| = |3-2| = 1
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemler ve Özdeşlikler

İpuçları

1
x+y=5x+y=5 eşitliğinin her iki tarafının 3 tabanında üssünü alarak 3x3^x ve 3y3^y arasında çarpım ilişkisi kurmaya çalışın.
2
3x+y=3x⋅3y3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y kuralını hatırlayın. Bu durumda 3x⋅3y3^x \cdot 3^y çarpımının değeri 353^5 yani 243 olacaktır.
3
Elinizde a+b=36a+b=36 ve a⋅b=243a \cdot b=243 olan iki denklem var (burada a=3xa=3^x ve b=3yb=3^y). Hangi iki sayının toplamı 36, çarpımı 243 eder?

Daha Fazla Pratik

Toplamları ve kareleri toplamı verilen üslü ifadelerin çarpımını bulmayı gerektiren özdeşlik soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden denklem kurarak çözmek: t2−(Topkam)t+(C\carpım)=0  ⟹  t2−36t+243=0t^2 - (Topkam)t + (Çarpım) = 0 \implies t^2 - 36t + 243 = 0. Bu denklemin kökleri 3x3^x ve 3y3^y değerlerini verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üslü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru