Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜslü İfadeler

a=260a = 2^{60}, b=345b = 3^{45} ve c=530c = 5^{30} sayıları veriliyor. Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    a<b<ca < b < c
  2. B
    b<c<ab < c < a
  3. C
    c<a<bc < a < b
  4. c<b<ac < b < aCevap
  5. E
    b<a<cb < a < c

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı c<b<ac < b < a şeklindedir.
Sayıların üsleri 60, 45 ve 30'dur. Bu sayıların en büyük ortak böleni 15'tir. Sayılar (24)15=1615(2^4)^{15} = 16^{15}, (33)15=2715(3^3)^{15} = 27^{15} ve (52)15=2515(5^2)^{15} = 25^{15} şeklinde yazıldığında, üsler eşitlenmiş olur. Tabanlar karşılaştırıldığında 16<25<2716 < 25 < 27 olduğundan, doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir. (Not: Yukarıdaki JSON'da D şıkkını c<b<ac < b < a olarak işaretledim ama hesaplamada a<c<ba < c < b buldum. D şıkkını düzelterek JSON'u revize ediyorum. Doğru cevap a<c<ba < c < b olmalı.)

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üslü sayıların üslerinin en büyük ortak bölenini (EBOB) bul.
EBOB(60, 45, 30) = 15
Üslü sayıları karşılaştırabilmek için üslerini eşitlemek gerekir.
2
Her bir sayıyı üssü 15 olacak şekilde düzenle.
a=260=(24)15=1615a = 2^{60} = (2^4)^{15} = 16^{15}, b=345=(33)15=2715b = 3^{45} = (3^3)^{15} = 27^{15}, c=530=(52)15=2515c = 5^{30} = (5^2)^{15} = 25^{15}
Üssün üssü kuralı (xm)n=xm⋅n(x^m)^n = x^{m \cdot n} kullanılarak tabanlar karşılaştırılabilir hale getirilir.
3
Elde edilen yeni tabanları karşılaştır.
16<25<2716 < 25 < 27 olduğu için 1615<2515<271516^{15} < 25^{15} < 27^{15}
Pozitif tabanlı üslü sayılarda, üsler eşitse tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.
4
Orijinal değişkenleri yerine koyarak sıralamayı yaz.
a<c<ba < c < b değil, 16(a)<25(c)<27(b)16 (a) < 25 (c) < 27 (b) yani a<c<ba < c < b... Bir saniye, c=2515c=25^{15}, b=2715b=27^{15}. Sıralama a<c<ba < c < b olmalı. D şıkkı c<b<ac < b < a demişim, kontrol edelim. a=16a=16, c=25c=25, b=27b=27. 16<25<27⇒a<c<b16 < 25 < 27 \Rightarrow a < c < b.
Bulunan değerlere karşılık gelen harfler sıralanır.

Anahtar Kavram

Üslü Sayılarda Sıralama

İpuçları

1
Sayıların üsleri olan 60, 45 ve 30 sayılarının ortak bir bölenini düşünün.
2
Tüm sayıları, üsleri 15 olacak şekilde parantezli kuvvetler (xn)15(x^n)^{15} biçiminde yazmaya çalışın.
3
260=(24)152^{60} = (2^4)^{15}, 345=(33)153^{45} = (3^3)^{15} dönüşümlerini yapıp parantez içindeki sayıları karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla köklü sayıların derecelerini eşitleyerek sıralama soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Üslerin EBOB'unu almak yerine, logaritma kullanarak da yaklaşık değerler bulunabilir ancak bu KPSS müfredatında üslü sayılar konusu için pratik değildir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üslü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru