Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi veriliyor.

f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonunun birebir olduğu ve her x∈Ax \in A için
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)
eşitliğini sağladığı bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    12
  5. E
    24

Cevap

Verilen koşulları sağlayan 8 farklı fonksiyon vardır.
Fonksiyonun f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) koşulunu sağlaması (tek fonksiyon özelliği), f(0)=0f(0)=0 olmasını zorunlu kılar. Ayrıca xx ve −x-x değerlerinin görüntüleri mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olmalıdır (f(x)=y  ⟹  f(−x)=−yf(x)=y \implies f(-x)=-y). A={−2,−1,0,1,2}A=\{-2,-1,0,1,2\} kümesinde f(1)f(1) değeri için 0 hariç 4 seçenek vardır. f(1)f(1) seçildiğinde f(−1)f(-1) otomatik belirlenir ve görüntü kümesinden 2 eleman eksilir. Geriye kalan f(2)f(2) için 2 seçenek kalır. Toplamda 4×2=84 \times 2 = 8 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
x=0x=0 için fonksiyonun değerini belirle.
f(0)=0f(0) = 0 olmalıdır.
Verilen f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğinde x=0x=0 yazılırsa, f(0)=−f(0)f(0) = -f(0) olur. Bu durumda 2f(0)=02f(0)=0 ve f(0)=0f(0)=0 bulunur. Birebir olduğu için 00 görüntü kümesinde başka eleman tarafından kullanılamaz.
2
Tanım kümesindeki diğer elemanları gruplandır ve f(1)f(1) için seçenek sayısını bul.
f(1)f(1) için 4 farklı seçenek vardır: {−2,−1,1,2}\{-2, -1, 1, 2\}.
Tanım kümesinde kalan elemanlar {−2,−1,1,2}\{-2, -1, 1, 2\}. f(1)f(1) değeri 00 olamaz (birebirliğe aykırı). Geriye kalan 4 değerden herhangi birini alabilir.
3
f(1)f(1) seçimine bağlı olarak f(−1)f(-1) değerini belirle.
f(−1)f(-1) tek bir değer alır (zorunlu seçim).
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) kuralı gereği, f(1)=yf(1) = y seçildiğinde f(−1)=−yf(-1) = -y olmak zorundadır. Bu adım için ekstra bir seçim hakkı oluşmaz (1 durum).
4
f(2)f(2) için kalan seçenek sayısını hesapla.
f(2)f(2) için 2 farklı seçenek kalır.
Görüntü kümesinde 00, yy ve −y-y değerleri kullanıldı. Kümede toplam 5 eleman vardı, geriye 5−3=25-3=2 eleman kaldı. f(2)f(2) bu iki değerden birini alabilir.
5
f(−2)f(-2) değerini belirle ve toplam fonksiyon sayısını hesapla.
Toplam sayı: 1×4×1×2×1=81 \times 4 \times 1 \times 2 \times 1 = 8.
f(2)f(2) seçilince f(−2)f(-2) otomatik olarak belirlenir. Çarpma kuralına göre seçenekler çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda simetri ve kısıtlı sayma

İpuçları

1
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğinde x=0x=0 yazarak f(0)f(0) değerini bulunuz.
2
Birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz. f(1)f(1) için kaç seçenek olduğunu belirleyip, bu seçimin f(−1)f(-1)'i nasıl etkilediğini düşününüz.
3
f(1)f(1) değeri seçilince f(−1)f(-1) zorunlu olarak belirlenir. Bu işlem görüntü kümesinden iki elemanı eksiltir. Kalan elemanlar f(2)f(2) için kullanılabilir.

Daha Fazla Pratik

Aynı küme üzerinde tanımlı, birebir ve f(-x) = f(x) (çift fonksiyon) koşulunu sağlayan kaç fonksiyon vardır sorusu ile simetri kavramını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Olası fonksiyonları eşleşme diyagramı çizerek somutlaştırabilirsiniz: 0→0 sabittir. {1, -1} çifti {a, -a} çiftine gitmelidir. Kümede iki tane {a, -a} çifti vardır ({1,-1} ve {2,-2}). 1 sayısı bu 4 değerden birine gittiğinde çifti kilitlenir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru