Examkin

Soru

Zorluk: ZorAlt Küme

A={∅,1,{1},{1,2}}A = \{ \emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\} \} kümesi veriliyor.

AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, aynı zamanda AA kümesinin alt kümesi olan en az bir eleman içerir?

  1. A
    4
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 12Cevap
  5. E
    16

Cevap

12
Soruda, A kümesinin alt kümeleri içinde, 'kendisi de A kümesinin bir alt kümesi olan' elemanlardan en az birini barındıranlar sorulmaktadır. Öncelikle hangi elemanların bu şartı sağladığına bakılır: ∅\emptyset her kümenin alt kümesi olduğu için şartı sağlar. {1}\{1\} kümesinin alt küme olması için 1∈A1 \in A olmalıdır, bu da doğrudur. Ancak {1,2}\{1, 2\}'nin alt küme olması için 2∈A2 \in A olmalıdır ki bu yanlıştır. Böylece şartı sağlayan 2 eleman ({∅,{1}}\{ \emptyset, \{1\} \}) ve sağlamayan 2 eleman (1,{1,2}1, \{1, 2\}) vardır. Toplam 24=162^4=16 alt kümeden, şartı sağlayanları hiç içermeyen (sadece sağlamayanlardan oluşan) 22=42^2=4 alt küme çıkarıldığında cevap 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını listele ve her birinin A kümesinin alt kümesi olup olmadığını kontrol et.
Elemanlar: ∅\emptyset, 11, {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\}.
1. ∅⊆A\emptyset \subseteq A mı? EVET (Boş küme her kümenin alt kümesidir).
2. 1⊆A1 \subseteq A mı? HAYIR (1 bir sayıdır/elemandır, küme değildir).
3. {1}⊆A\{1\} \subseteq A mı? EVET (1∈A1 \in A olduğu için).
4. {1,2}⊆A\{1, 2\} \subseteq A mı? HAYIR (Çünkü 2∉A2 \notin A. Sadece {1,2}\{1, 2\} eleman olarak var).
Soruda istenen 'Aynı zamanda alt küme olan elemanları' tespit etmek için.
2
Şartı sağlayan (hedef) ve sağlamayan eleman sayılarını belirle.
Hedef Elemanlar (Hem eleman hem alt küme): {∅,{1}}\{\emptyset, \{1\}\} (2 tane).
Diğer Elemanlar: {1,{1,2}}\{1, \{1, 2\}\} (2 tane).
Kombinasyon hesabı için grupları ayırmak gerekir.
3
İstenen durumu hesapla (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar).
Tüm alt kümeler: 24=162^4 = 16.
İstenmeyen durum (İçinde HİÇ hedef eleman olmayanlar): Sadece 'Diğer Elemanlar' kullanılarak oluşturulan alt kümelerdir. 22=42^2 = 4.
Sonuç: 16−4=1216 - 4 = 12.
'En az bir' koşulu içeren sorularda tümleyenden gitmek daha kolaydır.

Anahtar Kavram

Alt küme tanımı ile eleman olma ({x}⊆A  ⟺  x∈A\{x\} \subseteq A \iff x \in A) arasındaki farkın analizi.

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını tek tek inceleyin: Bu elemanlardan hangileri, tek başına bir küme olarak düşünüldüğünde yine A'nın içinde kapsanır? (Not: ∅\emptyset her kümenin alt kümesidir, {x}⊆A\{x\} \subseteq A olması için x∈Ax \in A olmalıdır).
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru