Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKöklü İfadeler
10+152+3+2+6 \frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    10+5\sqrt{10} + \sqrt{5}
  2. 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5}Cevap
  3. C
    55
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    2−1\sqrt{2} - 1

Cevap

Verilen işlemin sonucu 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.
Verilen ifade pay ve payda kısımlarında ortak çarpanlara ayrıldığında (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimleri sadeleşir. Elde edilen 52+1\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} ifadesi, paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile genişletildiğinde sonuç 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
10+15=5(2+3)\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})
Her iki terimde de ortak olan 5\sqrt{5} çarpanı belirlenerek ifade sadeleştirilmeye hazır hale getirilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2+3+2+6=(2+3)+(2⋅2+2⋅3)=(2+3)+2(2+3)=(1+2)(2+3)\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})
2=222 = \sqrt{2}^2 ve 6=23\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3} dönüşümleri yapılarak paydadaki terimler ortak paranteze alınır.
3
Pay ve paydadaki ortak (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimlerini sadeleştirin.
5(2+3)(1+2)(2+3)=51+2\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{2}}
Çarpım durumunda olan aynı ifadeler sadeleşerek ifadenin daha basit bir hal almasını sağlar.
4
Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile çarpın.
5(2−1)(1+2)(2−1)=10−52−1=10−5\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2 - 1} = \sqrt{10} - \sqrt{5}
Paydada köklü ifade bırakmamak için eşlenik çarpımı yapılarak payda rasyonel bir sayıya (1) dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma ve paydayı eşlenik yardımıyla rasyonel hale getirme.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki terimleri daha küçük köklü çarpanlara ayırmayı deneyin.
2
Paydada bulunan 2+62 + \sqrt{6} kısmını 2(2+3)\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) şeklinde yazarak ortak çarpan oluşturabilirsiniz.
3
Gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra paydada kalan köklü ifadeyi rasyonel yapmak için eşleniği ile genişletin.

Daha Fazla Pratik

Gruplandırma yöntemi ve eşlenik çarpımını bir arada kullanan karmaşık köklü sayı soruları ile pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

Köklü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru