Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=9|AB| = 9 cm'dir. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında m(A^)>m(B^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) sıralaması bulunmaktadır. Üçgenin çevresi 36 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kenarının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    45
  2. B
    54
  3. C
    60
  4. 62Cevap
  5. E
    80

Cevap

İstenen toplam 62'dir.
Çevre bağıntısı (a+b=27a+b=27) ile açı sıralamasının gerektirdiği kenar sıralaması (a>b>9a>b>9) birleştirildiğinde aa için 13,5<a<1813,5 < a < 18 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki 14, 15, 16 ve 17 tam sayıları toplandığında 62 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çevre bilgisini kullanarak kenarlar arası ilişkiyi kurma.
∣BC∣=a|BC| = a ve ∣AC∣=b|AC| = b olsun. Çevre =a+b+9=36= a + b + 9 = 36 ise a+b=27a + b = 27 olur. Buradan b=27−ab = 27 - a yazılabilir.
Bilinmeyen kenarlar arasındaki bağıntıyı tek değişkene indirgemek için gereklidir.
2
Açı sıralamasını kenar uzunluğu sıralamasına dönüştürme.
m(A^)>m(B^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) ise büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre a>b>9a > b > 9 olur.
Açı-kenar bağıntılarını kullanarak kenarların sınırlarını belirlemek gerekir.
3
Kenar sıralaması ve çevre bağıntısını birleştirerek eşitsizlik oluşturma.
a>27−a>9a > 27 - a > 9 eşitsizliğinden; 2a>27⇒a>13,52a > 27 \Rightarrow a > 13,5 ve 27−a>9⇒a<1827 - a > 9 \Rightarrow a < 18 elde edilir.
aa kenarının alt ve üst sınırlarını daraltmak için gereklidir.
4
Üçgen eşitsizliğini uygulama.
a<b+9⇒a<(27−a)+9⇒2a<36⇒a<18a < b + 9 \Rightarrow a < (27 - a) + 9 \Rightarrow 2a < 36 \Rightarrow a < 18 olur. Ayrıca b<a+9⇒27−a<a+9⇒18<2a⇒a>9b < a + 9 \Rightarrow 27 - a < a + 9 \Rightarrow 18 < 2a \Rightarrow a > 9 (zaten sağlanıyor).
Geometrik olarak bir üçgenin oluşabilmesi için gerekli temel şartı kontrol etmek gerekir.
5
Uygun tam sayı değerlerini belirleme ve toplama.
13,5<a<1813,5 < a < 18 aralığındaki tam sayılar 14, 15, 16 ve 17'dir. Toplam: 14+15+16+17=6214 + 15 + 16 + 17 = 62.
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için tam sayı değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ve herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru