Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=9|AB| = 9 cm ve ∣AC∣=15|AC| = 15 cm uzunlukları verilmiştir. BCBC kenarına ait kenarortay uzunluğu xx cm'dir. m(BAC^)<90∘m(\widehat{BAC}) < 90^\circ olduğu bilindiğine göre, xx'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. 3Cevap
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

x'in alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.
Üçgende kenarortay (xx) için temel sınır 3<x<123 < x < 12 aralığıdır. Ancak AA açısı 90∘90^\circ'den küçük (dar) olduğu için a2<b2+c2a^2 < b^2+c^2 olur; bu da kenarortayın x>b2+c22x > \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2} olmasını gerektirir. Değerler yerine konulduğunda x>8.74x > 8.74 bulunur. Üst sınır 12 olduğundan, aralık (8.74,12)(8.74, 12) olur. Bu aralıktaki tam sayılar 9, 10 ve 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğu için temel üçgen eşitsizliği aralığını belirle.
∣15−9∣2<x<15+92⇒62<x<242⇒3<x<12\frac{|15-9|}{2} < x < \frac{15+9}{2} \Rightarrow \frac{6}{2} < x < \frac{24}{2} \Rightarrow 3 < x < 12
Bir üçgende kenarortay uzunluğu xx, komşu kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.
2
Açının dar açı (m(A^)<90∘m(\widehat{A}) < 90^\circ) olma şartını kenarortay formülüyle ilişkilendir.
2x2=b2+c2−a222x^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2} ve a2<b2+c2a^2 < b^2 + c^2 (dar açı) olduğu için, x2>b2+c24x^2 > \frac{b^2+c^2}{4} eşitsizliği elde edilir.
Dar açılı üçgende kenarortayın karesi, komşu kenarların kareleri toplamının dörtte birinden büyüktür (x>b2+c22x > \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}).
3
Verilen değerleri eşitsizliğe uygula ve alt sınırı hesapla.
x>92+1522=81+2252=3062≈17.492≈8.74x > \frac{\sqrt{9^2 + 15^2}}{2} = \frac{\sqrt{81 + 225}}{2} = \frac{\sqrt{306}}{2} \approx \frac{17.49}{2} \approx 8.74
Sayısal kısıtlamayı bulmak için.
4
İki eşitsizliği birleştirip tam sayı değerlerini say.
Genel aralık: 3<x<123 < x < 12. Açı kısıtı: x>8.74x > 8.74. Kesişim: 8.74<x<128.74 < x < 12. Tam sayılar: 9, 10, 11.
Her iki şartı da sağlayan değerler çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Kenarortay ve Açı İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru