Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

Aşağıda verilen ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. m(DAB^)=60∘m(\widehat{DAB}) = 60^\circ, m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, ∣AD∣=8|AD| = 8 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    12+14312 + 14\sqrt{3}
  2. B
    20+24320 + 24\sqrt{3}
  3. 24+28324 + 28\sqrt{3}Cevap
  4. D
    32+24332 + 24\sqrt{3}
  5. E
    48+56348 + 56\sqrt{3}

Cevap

Yamuğun alanı 24+28324 + 28\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Doğru cevap, yamuğun yüksekliğinin ve alt taban parçalarının özel üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) yardımıyla bulunup, alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilir. Yükseklik 434\sqrt{3} ve alt taban 9+439+4\sqrt{3} bulunduğunda, alan (24+283)(24 + 28\sqrt{3}) cm2\text{cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
DD ve CC köşelerinden [AB][AB] kenarına dikmeler indirilir.
DD den inilen dikme ayağı HH, CC den inilen dikme ayağı KK olsun. Böylece ortada bir HKCDHKCD dikdörtgeni ve yanlarda ADHADH ile CKBCKB dik üçgenleri oluşur.
Yamuğun alanını bulmak için yüksekliğe ve alt taban uzunluğuna ihtiyaç vardır; bu dikmeler hem yüksekliği hem de taban parçalarını bulmamızı sağlar.
2
ADHADH üçgeninde (30-60-90) kenar uzunlukları hesaplanır.
Hipotenüs ∣AD∣=8|AD|=8 ise, 30∘30^\circ nin karşısı ∣AH∣=4|AH|=4, 60∘60^\circ nin karşısı (yükseklik) ∣DH∣=43|DH|=4\sqrt{3} olur.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30 derecenin karşısındaki kenarın 2 katıdır; 60 derecenin karşısı ise 30 derecenin karşısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
CKBCKB üçgeninde (45-45-90) kenar uzunlukları hesaplanır.
Yükseklikler eşit olduğundan ∣CK∣=∣DH∣=43|CK| = |DH| = 4\sqrt{3} tür. İkizkenar dik üçgen olduğu için ∣KB∣=43|KB| = 4\sqrt{3} olur.
45-45-90 üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.
4
Alt taban uzunluğu ∣AB∣|AB| bulunur.
∣AB∣=∣AH∣+∣HK∣+∣KB∣=4+5+43=9+43|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 4 + 5 + 4\sqrt{3} = 9 + 4\sqrt{3} cm. (Not: ∣HK∣=∣DC∣=5|HK|=|DC|=5)
Alt taban, sol üçgenin tabanı, dikdörtgenin tabanı ve sağ üçgenin tabanının toplamıdır.
5
Yamuk alan formülü uygulanır: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h.
Alan = (9+43)+52⋅43=14+432⋅43=(7+23)⋅43\frac{(9+4\sqrt{3}) + 5}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{14+4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (7+2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3}
Yamuğun alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
6
Çarpma işlemi dağıtılarak sonuca ulaşılır.
(7⋅43)+(23⋅43)=283+(8⋅3)=283+24(7 \cdot 4\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}) = 28\sqrt{3} + (8 \cdot 3) = 28\sqrt{3} + 24.
Köklü sayılarda dağılma özelliği uygulanır: a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Hesabı ve Özel Üçgenler

İpuçları

1
DD ve CC köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek özel üçgenler oluşturmayı deneyin.
2
Oluşan ADHADH üçgeni 30-60-90 üçgeni, CKBCKB üçgeni ise 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını hatırlayın.
3
Yükseklik h=43h = 4\sqrt{3} cm'dir. Alt tabanı üç parça halinde (∣AH∣|AH|, ∣HK∣|HK|, ∣KB∣|KB|) hesaplayıp toplayın, sonra alan formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, taban açılarından biri 30 derece, diğeri 45 derece olan bir yamuğun alanını hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

CC noktasından ADAD'ye paralel bir doğru çizerek yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgene ayırabilirsiniz. Oluşan üçgenin kenar ve açı özelliklerini kullanarak yüksekliği bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru