Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu, her n pozitif tam sayısı içi… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

n

pozitif tam sayısı için

f(n) - f(n+1) = \frac{1}{n^2+n}

bağıntısını sağlamaktadır.

$f(1) = 1$ olduğuna göre, $f(20)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{20}

Verilen bağıntı, her bir adımda fonksiyon değerinin bir miktar azaldığını göstermektedir.

n=1

den

n=19

a kadar olan tüm değişimler toplandığında toplam değişim

1 - 1/20 = 19/20

olur. Başlangıç değeri

f(1)=1

olduğu için, 20. adımdaki değer

1 - 19/20 = 1/20

olarak bulunur.

Rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayıralım.

\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Teleskopik toplam oluşturarak terimlerin birbirini sadeleştirmesini sağlamak.

n

yerine 1'den 19'a kadar olan tam sayıları yazalım.

n=1 \Rightarrow f(1) - f(2) = 1 - \frac{1}{2}

n=2 \Rightarrow f(2) - f(3) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

...

n=19 \Rightarrow f(19) - f(20) = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}

f(1)

f(20)

terimlerini içeren bir dizi eşitlik elde etmek.

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

f(1) - f(2) + f(2) - f(3) + \dots + f(19) - f(20) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{19} - \frac{1}{20}

f(1) - f(20) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

Sol taraftaki ara terimlerin (

f(2), f(3), \dots, f(19)

) ve sağ taraftaki rasyonel terimlerin sadeleşmesi.

f(1) = 1

bilgisini kullanarak

f(20)

değerini bulalım.

1 - f(20) = \frac{19}{20} \Rightarrow f(20) = 1 - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}

İstenen fonksiyon değerini elde etmek.

Fonksiyonlarda değer bulma ve teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirme.

n^2+n

ifadesini

n(n+1)

şeklinde çarpanlarına ayırarak başlayın.

1 / [n(n+1)]

ifadesini

1/n - 1/(n+1)

farkı olarak yazıp

n=1, 2, 3...

için değerleri görmeye çalışın.

Taraf tarafa toplama yaptığınızda birbirini yok eden (sadeleşen) terimleri fark edin; geriye sadece

f(1), f(20)

ve rasyonel sayıların farkı kalacaktır.

Benzer mantığı

f(n+1) = f(n) \cdot n

gibi çarpımsal (faktöriyel) ilişkiler içeren sorularla pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru