Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKöklü İfadeler
2−32+3+3 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \sqrt{3}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    3\sqrt{3}
  5. E
    232\sqrt{3}

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen ifade eşleniği ile genişletildiğinde, payda kısmında iki kare farkından dolayı 4−3=1\sqrt{4-3}=1 elde edilir. Pay kısmında ise köklü ifadenin karesi alınarak 2−32-\sqrt{3} sonucuna ulaşılır. İfadenin sonundaki +3+\sqrt{3} ile paydan gelen −3-\sqrt{3} toplandığında sonuç tam sayı olan 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesrin paydasını rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan 2−3\sqrt{2 - \sqrt{3}} ile genişletin.
2−3⋅2−32+3⋅2−3+3 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}} + \sqrt{3}
Paydada köklü ifade bırakmamak ve işlemi sadeleştirmek için eşlenik ile çarpma yöntemi kullanılır.
2
Pay ve paydadaki çarpma işlemlerini gerçekleştirin.
Pay: (2−3)2=2−3(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3}
Payda: (2+3)(2−3)=22−(3)2=4−3=1=1\sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1
Bir köklü ifadenin kendisiyle çarpımı kökü kaldırır; paydada ise iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
3
Elde edilen değerleri ana ifadede yerine yazarak sadeleştirin.
2−31+3=2−3+3=2 \frac{2 - \sqrt{3}}{1} + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2
Payda 1 olduğu için kesir kalkar ve zıt işaretli köklü terimler birbirini sıfırlar.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması (eşlenik çarpımı) ve iç içe köklerin sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
Kesirli bir ifadede paydada kök varsa, paydayı kökten kurtarmak için eşleniğiyle çarpmayı deneyin.
2
Paydayı 2−3\sqrt{2 - \sqrt{3}} ile çarptığınızda payda kısmında (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 özdeşliğini kullanabilirsiniz.
3
Payda rasyonel hale geldiğinde 1 olacaktır. Pay kısmındaki ifade ile dışarıdaki köklü ifadeyi toplayarak sadeleştirme yapın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formülünün kullanıldığı benzer rasyonelleştirme sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İfadeyi bütün olarak KK değerine eşitleyip karesini alarak da çözüme gidilebilir, ancak rasyonelleştirme (eşlenik) yöntemi bu tip sorular için en pratik ve standart yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Köklü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru