Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Şekildeki ABCABC ve ACDACD üçgenleri ACAC kenarı boyunca birleştirilmiştir. ∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣BC∣=8|BC| = 8 cm ve ∣CD∣=5|CD| = 5 cm olarak verilmiştir. m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ olduğu bilindiğine göre, ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    10
  2. B
    11
  3. 13Cevap
  4. D
    14
  5. E
    18

Cevap

x'in alabileceği 13 farklı tam sayı değeri vardır.
Soruda iki aşamalı bir analiz gerekmektedir. İlk olarak ABCABC üçgeninde BB açısı geniş olduğundan ∣AC∣=b|AC| = b kenarı için b2>62+82b^2 > 6^2 + 8^2 yani b>10b > 10 şartı, üçgen eşitsizliğinden ise b<6+8=14b < 6+8=14 şartı elde edilir. Böylece b∈(10,14)b \in (10, 14) bulunur. İkinci olarak ACDACD üçgeninde xx için eşitsizlik ∣x−5∣<b<x+5|x-5| < b < x+5 şeklindedir. Bir üçgenin oluşabilmesi için bb'nin (10,14)(10, 14) aralığındaki değerleri ile (∣x−5∣,x+5)(|x-5|, x+5) aralığının kesişimi boş küme olmamalıdır. Bu durum, aralık uç noktalarının birbirini kapsamasıyla sağlanır: 10<x+5⇒x>510 < x+5 \Rightarrow x > 5 ve ∣x−5∣<14⇒x<19|x-5| < 14 \Rightarrow x < 19. Sonuç olarak 5<x<195 < x < 19 aralığındaki tam sayılar 6,7,…,186, 7, \dots, 18 olup toplam 13 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninde geniş açı kuralını uygula.
10 < |AC| < 14
B açısı > 90° olduğundan b² > 6² + 8² (b > 10) ve üçgen eşitsizliğinden b < 6 + 8 (b < 14) olmalıdır.
2
ACD üçgeninde üçgen eşitsizliğini x için yaz.
|AC| - 5 < x < |AC| + 5
Bir üçgende bir kenar, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.
3
İki üçgenin oluşturduğu kısıtlamaları birleştirerek x'in çözüm aralığını bul.
5 < x < 19
|AC| değerleri (10, 14) aralığındadır. Üçgenin oluşabilmesi için aralıkların kesişimi boş küme olmamalıdır. Alt sınır: 10 < x+5 => x > 5. Üst sınır: |x-5| < 14 => -14 < x-5 < 14 => -9 < x < 19. Ortak çözüm: 5 < x < 19.
4
Aralıktaki tam sayıları say.
13 tane
x ∈ {6, 7, ..., 18}. Terim sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1 = 18 - 6 + 1 = 13.

Anahtar Kavram

İki üçgenli sistemlerde kenar uzunluğu aralığı, ortak kenarın sınır değerlerinin diğer üçgenin eşitsizliği ile kesiştirilmesiyle bulunur.

İpuçları

1
Önce ABCABC üçgeninde BB açısının geniş olmasını kullanarak ∣AC∣|AC| kenarı için geçerli aralığı bulun.
2
Bulduğunuz ∣AC∣|AC| aralığı ile ACDACD üçgenindeki üçgen eşitsizliğinin ortak bir çözümü olmalıdır.
3
∣AC∣|AC| değeri (10,14)(10, 14) aralığındadır. xx değeri öyle seçilmelidir ki, ∣x−5∣|x-5| ile x+5x+5 aralığı bu (10,14)(10, 14) aralığı ile kesişebilsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, açının dar açı (<90°) verildiği durum için çözmeyi deneyin; eşitsizlik yönlerinin nasıl değiştiğini gözlemleyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru