Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki şekilde ABCABC ve DBCDBC üçgenlerinin [BC][BC] kenarı ortaktır.

∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣AC∣=8|AC| = 8 cm,
∣DB∣=5|DB| = 5 cm, ∣DC∣=12|DC| = 12 cm olarak verilmiştir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ ve m(BDC^)<90∘m(\widehat{BDC}) < 90^\circ olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    17
  2. 23Cevap
  3. C
    36
  4. D
    50
  5. E
    63

Cevap

Alınabilecek değerler 11 ve 12'dir; toplamları 23'tür.
Doğru cevap, BCBC kenarının hem ABCABC üçgenindeki geniş açı şartını (∣BC∣>10|BC| > 10) hem de DBCDBC üçgenindeki dar açı şartını (∣BC∣<13|BC| < 13) aynı anda sağlayan tam sayıların (11 ve 12) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeni için kenar aralığını belirle (Üçgen Eşitsizliği).
∣8−6∣<∣BC∣<8+6⇒2<∣BC∣<14|8-6| < |BC| < 8+6 \Rightarrow 2 < |BC| < 14
Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.
2
ABCABC üçgeni için geniş açı (m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ) şartını uygula.
∣BC∣2>62+82⇒∣BC∣2>36+64=100⇒∣BC∣>10|BC|^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow |BC|^2 > 36 + 64 = 100 \Rightarrow |BC| > 10. (1. Durum: 10<∣BC∣<1410 < |BC| < 14)
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.
3
DBCDBC üçgeni için kenar aralığını belirle (Üçgen Eşitsizliği).
∣12−5∣<∣BC∣<12+5⇒7<∣BC∣<17|12-5| < |BC| < 12+5 \Rightarrow 7 < |BC| < 17
Üçgen eşitsizliği kuralı ikinci üçgen için de geçerlidir.
4
DBCDBC üçgeni için dar açı (m(D^)<90∘m(\widehat{D}) < 90^\circ) şartını uygula.
∣BC∣2<52+122⇒∣BC∣2<25+144=169⇒∣BC∣<13|BC|^2 < 5^2 + 12^2 \Rightarrow |BC|^2 < 25 + 144 = 169 \Rightarrow |BC| < 13. (2. Durum: 7<∣BC∣<137 < |BC| < 13)
Dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından küçüktür.
5
Her iki durumu sağlayan ortak çözüm kümesini bul ve değerleri topla.
Kesişim: (10<∣BC∣<14)∩(7<∣BC∣<13)⇒10<∣BC∣<13(10 < |BC| < 14) \cap (7 < |BC| < 13) \Rightarrow 10 < |BC| < 13. Tam sayılar: 11 ve 12. Toplam: 11+12=2311 + 12 = 23.
BCBC kenarı her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki kısıtlamayı da aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgende açı-kenar bağıntıları ve yardımcı açı koşulları (dar/geniş açı)
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru