Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDörtgenler

ABCDABCD bir dik yamuk ([AB]⊥[AD][AB] \perp [AD] ve [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC]) olmak üzere, EE noktası [AD][AD] kenarı üzerinde yer almaktadır.

[BE]⊥[CE][BE] \perp [CE] dikliği verilmiştir.

∣AB∣=12|AB| = 12 cm, ∣DC∣=4|DC| = 4 cm ve ∣AE∣=2|AE| = 2 cm olduğuna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm² dir?

  1. A
    192
  2. B
    200
  3. 208Cevap
  4. D
    216
  5. E
    256

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 208 cm² dir.
Soruda verilen dik yamuk ve dik kesişen doğrular, △ABE\triangle ABE ve △DEC\triangle DEC üçgenleri arasında Açı-Açı benzerliği kurmamızı sağlar. Bu benzerlikten ∣DE∣|DE| uzunluğu 24 cm olarak bulunur. Yamuğun toplam yüksekliği olan ∣AD∣|AD|, ∣AE∣|AE| ve ∣DE∣|DE| toplamına eşit olduğundan 2626 cm'dir. Yamuk alan formülü uygulandığında sonuç 208 cm² çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Açıları isimlendirerek benzer üçgenleri belirle.
m(ABE^)=αm(\widehat{ABE}) = \alpha olsun. △ABE\triangle ABE dik üçgeninde m(AEB^)=90∘−αm(\widehat{AEB}) = 90^\circ - \alpha olur. EE noktasındaki doğru açı 180∘180^\circ olduğundan ve m(BEC^)=90∘m(\widehat{BEC})=90^\circ verildiğinden, m(DEC^)=αm(\widehat{DEC}) = \alpha bulunur. Buradan △ABE∼△DEC\triangle ABE \sim \triangle DEC (Açı-Açı Benzerliği) elde edilir.
Yamuk içerisindeki dik kesişimler genellikle benzer üçgenler oluşturur.
2
Benzerlik oranını kurarak ∣DE∣|DE| uzunluğunu hesapla.
∣AB∣∣DE∣=∣AE∣∣DC∣  ⟹  12∣DE∣=24\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AE|}{|DC|} \implies \frac{12}{|DE|} = \frac{2}{4}. İçler dışlar çarpımı ile 2∣DE∣=48  ⟹  ∣DE∣=242|DE| = 48 \implies |DE| = 24 cm bulunur.
Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
3
Yamuğun toplam yüksekliğini (∣AD∣|AD|) bul.
∣AD∣=∣AE∣+∣DE∣=2+24=26|AD| = |AE| + |DE| = 2 + 24 = 26 cm.
Yamuğun alanı için alt taban, üst taban ve toplam yüksekliğe ihtiyaç vardır.
4
Yamuğun alanını hesapla.
Alan = ∣AB∣+∣DC∣2⋅∣AD∣=12+42⋅26=8⋅26=208\frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot |AD| = \frac{12 + 4}{2} \cdot 26 = 8 \cdot 26 = 208 cm².
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}.

Anahtar Kavram

Dik Yamukta Benzerlik ve Alan

İpuçları

1
Dik üçgenlerdeki açıları isimlendirmeyi deneyin (α,β\alpha, \beta gibi). EE noktasındaki açının 90∘90^\circ olması size üçgenler arasında nasıl bir ilişki verir?
2
△ABE\triangle ABE ve △DEC\triangle DEC üçgenlerinin açılarının eşit olduğunu görebilirsiniz. Bu durumda kenarlar arasında bir orantı kurabilirsiniz.
3
△ABE∼△DEC\triangle ABE \sim \triangle DEC benzerliğini kullanın. ∣AB∣∣DE∣=∣AE∣∣DC∣\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AE|}{|DC|} orantısından ∣DE∣|DE| uzunluğunu bulun ve bunu toplam yüksekliğe ekleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu, EE noktası orta nokta olduğunda alanın nasıl değiştiğini inceleyerek pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Analitik geometri yöntemi: DD noktasını (0,0)(0,0) orijin kabul ederseniz, C(4,0)C(4,0), A(0,h)A(0,h) ve B(12,h)B(12,h) olur. EE noktası (0,k)(0, k) olsun. Vektörlerin dikliği (iç çarpım =0= 0) kullanılarak da çözülebilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru