Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}) üzerinde A ve B kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: A … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 5| \le 7 \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 < 17 \}

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

Kesişim kümesi

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olarak 6 elemanlıdır. Bu kümenin tüm alt küme sayısı

2^6 = 64

'tür. İçinde hiç asal sayı (2 ve 3) bulunmayan alt kümeler, sadece

\{-1, 0, 1, 4\}

elemanları kullanılarak oluşturulur ve sayısı

2^4 = 16

'dır. En az bir asal sayı içerenler:

64 - 16 = 48

A

kümesinin elemanlarını bulmak için

|2x - 5| \le 7

eşitsizliğini çözelim.

-7 \le 2x - 5 \le 7 \Rightarrow -2 \le 2x \le 12 \Rightarrow -1 \le x \le 6

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Mutlak değer özelliği:

|u| \le a \iff -a \le u \le a

B

kümesinin elemanlarını bulmak için

x^2 < 17

eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulalım.

Karesi 17'den küçük tam sayılar:

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

- \sqrt{17} < x < \sqrt{17}

\sqrt{17} \approx 4.12

olduğu için

-4

ile

4

arasındaki tam sayılar alınır.

A \cap B

kümesini (ortak elemanları) belirleyelim.

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Toplam eleman sayısı

s(A \cap B) = 6

Her iki kümede de bulunan elemanlar seçilir.

İstenen koşulu sağlayan alt küme sayısını hesaplayalım. (Tüm alt kümeler - Hiç asal sayı bulunmayanlar)

Asal elemanlar:

\{2, 3\}

. Asal olmayanlar:

\{-1, 0, 1, 4\}

. Tüm alt kümeler:

2^6=64

. Asal bulunmayanlar:

2^4=16

. Sonuç:

64 - 16 = 48

'En az bir' koşulu içeren sorularda tüm durumlardan istenmeyen durumun çıkarılması daha kolaydır.

Alt Küme Sayısı ve Tümleme Yöntemi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru