Examkin

Küme Kavramı ve Gösterimi

39 soru

Soru 1Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣∣2x−5∣≤7}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 5| \le 7 \}
B={x∈Z∣x2<17}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 < 17 \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
Kesişim kümesi {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olarak 6 elemanlıdır. Bu kümenin tüm alt küme sayısı 26=642^6 = 64'tür. İçinde hiç asal sayı (2 ve 3) bulunmayan alt kümeler, sadece {−1,0,1,4}\{-1, 0, 1, 4\} elemanları kullanılarak oluşturulur ve sayısı 24=162^4 = 16'dır. En az bir asal sayı içerenler: 64−16=4864 - 16 = 48.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını bulmak için ∣2x−5∣≤7|2x - 5| \le 7 eşitsizliğini çözelim.
−7≤2x−5≤7⇒−2≤2x≤12⇒−1≤x≤6-7 \le 2x - 5 \le 7 \Rightarrow -2 \le 2x \le 12 \Rightarrow -1 \le x \le 6. A={−1,0,1,2,3,4,5,6}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.
Mutlak değer özelliği: ∣u∣≤a  ⟺  −a≤u≤a|u| \le a \iff -a \le u \le a.
2
BB kümesinin elemanlarını bulmak için x2<17x^2 < 17 eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulalım.
Karesi 17'den küçük tam sayılar: B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}.
−17<x<17- \sqrt{17} < x < \sqrt{17} ve 17≈4.12\sqrt{17} \approx 4.12 olduğu için −4-4 ile 44 arasındaki tam sayılar alınır.
3
A∩BA \cap B kümesini (ortak elemanları) belirleyelim.
A∩B={−1,0,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Toplam eleman sayısı s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Her iki kümede de bulunan elemanlar seçilir.
4
İstenen koşulu sağlayan alt küme sayısını hesaplayalım. (Tüm alt kümeler - Hiç asal sayı bulunmayanlar)
Asal elemanlar: {2,3}\{2, 3\}. Asal olmayanlar: {−1,0,1,4}\{-1, 0, 1, 4\}. Tüm alt kümeler: 26=642^6=64. Asal bulunmayanlar: 24=162^4=16. Sonuç: 64−16=4864 - 16 = 48.
'En az bir' koşulu içeren sorularda tüm durumlardan istenmeyen durumun çıkarılması daha kolaydır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Tümleme Yöntemi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={x∈Z:5x+18x+2∈Z}A = \left\{ x \in \mathbb{Z} : \frac{5x + 18}{x + 2} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

-16 sonucuna ulaşılır.
Verilen küme tanımına göre, xx bir tam sayıdır ve 5x+18x+2\frac{5x+18}{x+2} ifadesi de bir tam sayı olmalıdır. Bu kesir 5+8x+25 + \frac{8}{x+2} şeklinde yazılabilir. Sonucun tam sayı olması için x+2x+2'nin 8'i tam bölmesi gerekir. 8'in tam sayı bölenleri 8 tanedir: ±1,±2,±4,±8\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8. Her bir bölen (dd) için x=d−2x = d - 2 olur. Tüm xx değerlerinin toplamı istendiğinde, ∑(d−2)=∑d−∑2\sum (d-2) = \sum d - \sum 2 işlemi yapılır. Simetrik oldukları için ∑d=0\sum d = 0 olur. 8 adet bölen olduğundan toplam 0−(8×2)=−160 - (8 \times 2) = -16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam sayılı kesre çevirmek için polinom bölmesi veya düzenleme yap
5x+18x+2=5(x+2)+8x+2=5+8x+2\frac{5x + 18}{x + 2} = \frac{5(x + 2) + 8}{x + 2} = 5 + \frac{8}{x + 2}
İfadenin tam sayı olması için 8x+2\frac{8}{x+2} kısmının tam sayı olması gerektiğini görmek gerekir.
2
Kesrin tam sayı olması için paydanın alabileceği değerleri belirle
x+2x + 2 ifadesi 88'in tam sayı bölenleri olmalıdır. Bölenler: {−8,−4,−2,−1,1,2,4,8}\{-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8\}
x∈Zx \in \mathbb{Z} olduğu için bölenler hem negatif hem pozitif olabilir.
3
Her bir bölen değeri için xx elemanlarını bul (x=bo¨len−2x = \text{bölen} - 2)
xx değerleri: {−10,−6,−4,−3,−1,0,2,6}\{-10, -6, -4, -3, -1, 0, 2, 6\}
Kümenin elemanları xx'lerdir, bölenler değildir.
4
Bulunan xx değerlerini topla
(−10)+(−6)+(−4)+(−3)+(−1)+0+2+6=−16(-10) + (-6) + (-4) + (-3) + (-1) + 0 + 2 + 6 = -16
Soruda kümenin elemanlarının toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ile Tanımlanan Kümeler

İpuçları

1
İfadeyi A+Bx+2A + \frac{B}{x+2} şeklinde ayırarak x+2x+2'nin hangi sayıları bölmesi gerektiğini bulun.
2
8 sayısının tam sayı bölenlerini düşünürken negatif sayıları unutmayın.
3
Bölenlerin toplamı 0 olsa da, her bir xx değeri için 2 çıkarmanız gerekecektir (x=bo¨len−2x = \text{bölen} - 2).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paydada x2x^2 içeren veya doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N}) üzerinde tanımlı versiyonlarını çözün.

Alternatif Yöntem

Toplam formülü yöntemi: x+2=dx+2=d dönüşümü yapılırsa, x=d−2x=d-2 olur. İstenen toplam ∑d∣8(d−2)=∑d∣8d−∑d∣82\sum_{d|8} (d-2) = \sum_{d|8} d - \sum_{d|8} 2 şeklindedir. ∑d=0\sum d = 0 olduğu için sonuç sadece −2×(bo¨len sayısı)-2 \times (\text{bölen sayısı}) olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →

A={1,{1},{2,3},∅}A = \{1, \{1\}, \{2, 3\}, \emptyset\} kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {2,3}⊂A\{2, 3\} \subset A

Cevap

Kümenin içinde {2, 3} bir eleman olarak bulunur ancak 2 ve 3 rakamları tek başlarına birer eleman olmadıkları için {2, 3} bir alt küme değil, bir elemandır.
Doğru yanıt olan ifadede belirtilen {2,3}⊂A\{2, 3\} \subset A gösterimi yanlıştır. Bir topluluğun alt küme olabilmesi için o topluluğun içindeki her bir öğenin (2 ve 3) ana kümenin (A) içerisinde bağımsız birer eleman olarak bulunması gerekir. Verilen A kümesinde 2 ve 3 rakamları bağımsız elemanlar değil, birlikte {2,3}\{2, 3\} şeklinde tek bir eleman olarak yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını tek tek belirleyelim.
11, {1}\{1\}, {2,3}\{2, 3\} ve ∅\emptyset olmak üzere 4 eleman vardır.
Küme gösteriminde virgüllerle ayrılan her bir yapı, içindeki sembol ne olursa olsun tek bir eleman olarak kabul edilir.
2
Eleman sayısı (s(A)s(A)) doğruluğunu kontrol edelim.
s(A)=4s(A) = 4.
Birinci adımda tespit edilen 4 farklı yapı kümenin eleman sayısını verir.
3
Üyelik (∈\in) ve alt küme (⊂\subset) kavramlarını test edelim.
{1}∈A\{1\} \in A doğrudur çünkü listede vardır. {1}⊂A\{1\} \subset A doğrudur çünkü 1∈A1 \in A'dır. {2,3}∈A\{2, 3\} \in A doğrudur ancak {2,3}⊂A\{2, 3\} \subset A yanlıştır.
Bir ifadenin alt küme olması için içerdiği tüm elemanların ana kümenin de elemanı olması gerekir. 2∉A2 \notin A ve 3∉A3 \notin A olduğu için {2,3}\{2, 3\} bir alt küme olamaz.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Farkı

İpuçları

1
Küme içindeki her virgül, elemanları birbirinden ayırır. Parantez içindeki parantezleri tek bir paket gibi düşünmelisin.
2
Alt küme (⊂\subset) sembolünü kullanabilmen için, o kümenin içindeki her şeyin ana kümede tek başına 'eleman' olarak bulunması gerekir.
3
A kümesinde 2 ve 3 diye ayrı elemanlar var mı? Eğer yoksa {2,3}\{2, 3\} bir alt küme olamaz, sadece bir eleman olabilir.

Daha Fazla Pratik

İç içe geçmiş kümelerde eleman sayısını bulma ve alt küme yazma pratikleri yapılması önerilir.

Alternatif Yöntem

Kümenin elemanlarını bir torbanın içindeki nesneler gibi hayal edin. Torbada bir tane '1' topu, içinde '1' yazan küçük bir kutu, içinde '2' ve '3' yazan başka bir kutu ve bir boş küme sembolü vardır. '2' ve '3' topları torbada serbestçe dolaşmadığı için onları içeren bir grup alt küme oluşturamaz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 4Soru →

Matematikte bir topluluğun küme belirtmesi için elemanlarının 'iyi tanımlanmış' olması gerekir. İyi tanımlanmış olma özelliği, nesnelerin kişiden kişiye değişmeyen, net ve nesnel bir tanıma sahip olması anlamına gelir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Türkiye'nin en güzel şehirleri

Cevap

Türkiye'nin en güzel şehirleri
Türkiye'nin en güzel şehirleri ifadesindeki 'en güzel' kelimesi kişiden kişiye değişen öznel bir yargıdır. Herkesin güzellik algısı farklı olduğu için bu topluluk 'iyi tanımlanmış' değildir ve küme belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1
Küme tanımını hatırla.
Bir topluluğun küme belirtmesi için elemanlarının 'iyi tanımlanmış' (nesnel) olması gerekir.
Matematiksel bir kümenin sınırları herkes için aynı olmalıdır.
2
Seçeneklerdeki ifadelerin öznellik/nesnellik durumunu incele.
A, B, D ve E seçenekleri net ve ölçülebilir kriterlere sahipken, C seçeneğindeki 'en güzel' ifadesi kişisel beğeni içerir.
Öznel yargı bildiren ifadeler (güzel, çalışkan, bazı, zengin vb.) küme oluşturmaz.
3
Boş küme durumunu kontrol et.
Karesi negatif olan rakamlar kümesi boş kümedir ({}\{ \} veya ∅\emptyset).
Boş küme de iyi tanımlanmış bir kümedir; elemanının olmaması küme belirtmesine engel değildir.

Anahtar Kavram

Küme kavramı ve iyi tanımlanmış olma özelliği

İpuçları

1
Bir topluluğun küme belirtmesi için herkesin aynı elemanları anlaması gerekir.
2
İfadede 'en güzel', 'en iyi', 'bazı' gibi kişisel yorum gerektiren kelimeler olup olmadığına bak.
3
Boş kümeler de (hiç elemanı olmayan topluluklar) tanımı net olduğu sürece birer kümedir.

Daha Fazla Pratik

Boş kümenin eleman sayısının 0 olduğunu ve her kümenin bir alt kümesi olduğunu hatırlayarak küme gösterimlerine (liste, Venn, ortak özellik) çalışabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={(−1)n⋅n∣n∈Z ve 1≤n≤6}A = \{ (-1)^n \cdot n \mid n \in \mathbb{Z} \text{ ve } 1 \le n \le 6 \}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

A kümesinin elemanları toplamı 3'tür.
Küme, ortak özellik yöntemiyle 11 ile 66 arasındaki tam sayıların, (−1)n(-1)^n katsayısı ile çarpılmasıyla oluşturulmuştur. Tek sayılar için (−1)(-1) çarpanı sonucu negatif, çift sayılar için (+1)(+1) çarpanı sonucu pozitif yapar. Bu durumda küme elemanları {−1,2,−3,4,−5,6}\{-1, 2, -3, 4, -5, 6\} olur. Bu sayıların toplamı gruplandırarak kolayca hesaplanabilir: (−1+2)+(−3+4)+(−5+6)=1+1+1=3(-1+2) + (-3+4) + (-5+6) = 1 + 1 + 1 = 3.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin tanımındaki koşulu sağlayan n değerlerini belirle.
n değerleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Tanım aralığı 1≤n≤61 \le n \le 6 olan tam sayılardır.
2
Her n değeri için (−1)n⋅n(-1)^n \cdot n ifadesini hesaplayarak küme elemanlarını bul.
n=1 için: (-1)¹·1 = -1
n=2 için: (-1)²·2 = 2
n=3 için: (-1)³·3 = -3
n=4 için: (-1)⁴·4 = 4
n=5 için: (-1)⁵·5 = -5
n=6 için: (-1)⁶·6 = 6
Ortak özellik yönteminden liste yöntemine geçiş yapılır.
3
Bulunan elemanları topla.
(-1) + 2 + (-3) + 4 + (-5) + 6 = 1 + 1 + 1 = 3
Soru, küme elemanlarının toplamını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve Diziler
Soru 6Soru →

A={∅,m,{m},{m,n}}A = \{ \emptyset, m, \{m\}, \{m, n\} \} kümesi veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {m,n}⊂A\{m, n\} \subset A

Cevap

{m,n}⊂A\{m, n\} \subset A ifadesi yanlıştır.
Doğru cevap olan seçenek, {m,n}\{m, n\} kümesinin A'nın alt kümesi olduğunu iddia etmektedir. Ancak alt küme tanımına göre, {m,n}\{m, n\} kümesinin elemanları olan mm ve nn'nin her ikisinin de A kümesinde eleman olarak bulunması gerekir. A kümesinin elemanları ∅\emptyset, mm, {m}\{m\} ve {m,n}\{m, n\}'dir. Görüldüğü gibi mm kümede vardır ancak nn tek başına bir eleman olarak yoktur. Bu nedenle alt küme bağıntısı kurulamaz ve ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını tek tek listeleyerek belirle.
A kümesinin elemanları 4 tanedir: 1) ∅\emptyset, 2) mm, 3) {m}\{m\}, 4) {m,n}\{m, n\}.
Kümeyi analiz etmek ve eleman/alt küme ayrımlarını yapabilmek için elemanları netleştirmek gerekir.
2
Seçeneklerdeki 'elemanıdır' (∈\in) ve 'alt kümesidir' (⊂\subset) ifadelerini kontrol et.
Elemanıdır sembolü için küme içindeki nesne aynen aranır. Alt kümesidir sembolü için, sol taraftaki kümenin tüm elemanlarının sağdaki kümede olup olmadığına bakılır.
Sembollerin tanımlarını doğru uygulamak sorunun çözüm anahtarıdır.
3
Yanlış olduğu iddia edilen {m,n}⊂A\{m, n\} \subset A seçeneğini analiz et.
Bu ifadenin doğru olması için, kümenin içindeki mm ve nn elemanlarının her ikisinin de A kümesinin elemanı olması gerekir. m∈Am \in A doğrudur; ancak nn tek başına A kümesinin elemanı değildir (n∉An \notin A).
Alt küme tanımı gereği, alt kümenin her elemanı ana kümede bulunmalıdır. nn bulunmadığı için ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Eleman ve Alt Küme Ayrımı

İpuçları

1
Bir ifadenin 'elemanı' (∈\in) olup olmadığını anlamak için küme parantezleri arasındaki virgüle ayrılmış nesnelere aynen bakmalısınız.
2
Bir kümenin 'alt kümesi' (⊂\subset) olup olmadığını anlamak için, o kümenin içindeki elemanları tek tek çıkarıp ana kümede var mı diye kontrol etmelisiniz.
3
{m,n}⊂A\{m, n\} \subset A ifadesinin doğru olması için, hem mm hem de nn elemanlarının A kümesinde ayrı ayrı virgülle ayrılmış olarak bulunması gerekir. nn elemanı A'da tek başına var mı?

Daha Fazla Pratik

İç içe kümeler ve kuvvet kümesi kavramı ile ilgili sorular çözerek eleman/alt küme ayrımını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eleman sayma yöntemi: A kümesinin elemanlarını x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 olarak isimlendirin. x1=∅x_1=\emptyset, x2=mx_2=m, x3={m}x_3=\{m\}, x4={m,n}x_4=\{m, n\}. Seçenekleri bu isimlerle test edin. Örneğin E seçeneği: {x2,n}⊂A\{x_2, n\} \subset A demektir. nn listede olmadığı için yanlıştır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Bir belediye, iki farklı caddede yapılacak altyapı çalışması için, bakım yapılacak noktaları kapı numaralarına göre belirlemiştir.

A Caddesi'ndeki bakım noktaları kümesi:
A={x∣15<x≤65,  x=4k,  k∈Z} A = \{x \mid 15 < x \le 65, \; x = 4k, \; k \in \mathbb{Z} \}
B Caddesi'ndeki bakım noktaları kümesi:
B={x∣40≤x<90,  x=6m,  m∈Z} B = \{x \mid 40 \le x < 90, \; x = 6m, \; m \in \mathbb{Z} \}

şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre, bu iki caddede bakım yapılacak noktaların birleşim kümesi olan A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Hesaplamalar sonucunda birleşim kümesinin eleman sayısı 19 olarak bulunur.
İstenen değer s(A∪B)s(A \cup B)'dir. Bu değer s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü ile bulunur. A kümesi 13 elemanlı, B kümesi 8 elemanlıdır. Her iki kümenin ortak elemanları (kesişim) 48 ve 60 sayılarıdır (2 eleman). Formül uygulandığında 13+8−2=1913 + 8 - 2 = 19 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle
A kümesi 15'ten büyük, 65'e eşit veya küçük 4'ün katlarıdır. A={16,20,24,...,64} A = \{16, 20, 24, ..., 64\} . Terim sayısı formülünden: 64−164+1=13\frac{64-16}{4} + 1 = 13 eleman.
Ortak özellik yöntemiyle verilen kümenin eleman sayısını bulmak için aralıktaki şartı sağlayan sayılar tespit edilir.
2
B kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle
B kümesi 40'tan büyük veya eşit, 90'dan küçük 6'nın katlarıdır. B={42,48,54,...,84} B = \{42, 48, 54, ..., 84\} . Terim sayısı formülünden: 84−426+1=8\frac{84-42}{6} + 1 = 8 eleman.
B kümesinin liste yöntemiyle elemanlarının analizi.
3
Kesişim kümesi A∩BA \cap B'yi bul
Kesişim, her iki aralığın ortak bölgesi olan 40≤x≤6540 \le x \le 65 aralığında, hem 4'ün hem 6'nın katı (yani OKEK(4,6)=12'nin katı) olan sayılardır. Bu aralıktaki 12'nin katları: {48,60} \{48, 60\} . s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2.
Birleşim formülünü uygulayabilmek için ortak elemanların sayısının bulunması gerekir.
4
Birleşim kümesi formülünü uygula
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=13+8−2=19 s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 13 + 8 - 2 = 19
Kümelerin birleşimi hesaplanırken ortak elemanlar iki kez sayılmamalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Eleman Sayısı Hesabı

İpuçları

1
Önce her iki kümenin eleman sayılarını (s(A)s(A) ve s(B)s(B)) terim sayısı formülünü kullanarak ayrı ayrı bulunuz.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için sadece s(A)+s(B)s(A) + s(B) yapmak yeterli değildir; ortak olan elemanları iki kere saymış olursunuz.
3
Ortak elemanlar hem 4'ün hem de 6'nın katı olan sayılardır (yani 12'nin katları). Kesişim kümesini bulup şu formülü kullanın: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıda verilmiştir:

A={x∈Z+∣x≤150, EBOB(x,18)=3}A = \{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 150, \ \text{EBOB}(x, 18) = 3 \}
B={y∈Z+∣y≤150, EBOB(y,24)=4}B = \{ y \in \mathbb{Z}^+ \mid y \le 150, \ \text{EBOB}(y, 24) = 4 \}

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

A ve B kümeleri sırasıyla 17 ve 13 elemanlı olup kesişimleri boştur, toplam 30 eleman vardır.
A kümesi için x=3kx=3k ve ebob(k,6)=1\text{ebob}(k,6)=1 şartından k∈{1,5,7,11,…,49}k \in \{1, 5, 7, 11, \dots, 49\} olmak üzere 17 değer vardır. B kümesi için y=4my=4m ve ebob(m,6)=1\text{ebob}(m,6)=1 şartından m∈{1,5,7,…,37}m \in \{1, 5, 7, \dots, 37\} olmak üzere 13 değer vardır. A kümesi tek sayılardan, B kümesi çift sayılardan oluştuğu için ayrık kümelerdir. s(A∪B)=17+13=30s(A \cup B) = 17 + 13 = 30 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını analiz et.
x = 3k formatında olmalı ve EBOB(3k, 18) = 3 olduğundan EBOB(k, 6) = 1 olmalıdır. Yani k, 2 ve 3 ile bölünmemelidir.
EBOB tanımı gereği x, 18'in bölenlerinden sadece 3'ü içermeli, 2 veya 9 çarpanını içermemelidir.
2
A kümesinin eleman sayısını hesapla.
3k ≤ 150 ⇒ k ≤ 50. 1'den 50'ye kadar 2 ve 3'e bölünmeyen sayıları bulmalıyız. 50 sayıdan 2'ye bölünenleri (25) ve 3'e bölünenleri (16) çıkarıp, 6'ya bölünenleri (8) ekleriz. Ancak burada k'nın 2 ve 3 ile bölünmemesi gerektiği için: 50 - (25 + 16 - 8) = 17.
İçerme-Dışlama prensibi veya doğrudan sayma yöntemi.
3
B kümesinin elemanlarını analiz et.
y = 4m formatında olmalı ve EBOB(4m, 24) = 4 olduğundan EBOB(m, 6) = 1 olmalıdır. Yani m, 2 ve 3 ile bölünmemelidir.
EBOB(y, 24) = 4 olması için y, 4'ün katı olmalı ancak 8'in veya 12'nin katı olmamalıdır.
4
B kümesinin eleman sayısını hesapla.
4m ≤ 150 ⇒ m ≤ 37. 1'den 37'ye kadar 2 ve 3'e bölünmeyen sayılar: Toplam 37. 2'ye bölünen (18), 3'e bölünen (12), 6'ya bölünen (6). Sayı = 37 - (18 + 12 - 6) = 13.
m değerlerinin sayısını bulmak için eleme yöntemi.
5
Kesişim kümesini kontrol et ve toplamı bul.
A kümesindeki x sayıları 3k ve k tek (2 ile bölünmez) olduğu için x TEK sayıdır. B kümesindeki y sayıları 4m olduğu için y ÇİFT sayıdır. Kesişim boştur. Toplam = 17 + 13 = 30.
Tek ve çift sayıların ortak elemanı olamaz.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve EBOB İlişkisi

İpuçları

1
EBOB(x, 18) = 3 olması için x sayısı 3'ün katı olmalı, ancak 2'nin veya 3'ün daha yüksek kuvvetlerinin (9 gibi) katı olmamalıdır.
2
x = 3k ve y = 4m dönüşümlerini yapın. EBOB özelliklerinden dolayı k ve m sayılarının hangi sayılarla aralarında asal olması gerektiğini bulun.
3
A kümesindeki elemanların hepsi 3'ün katı ve tek sayıdır (2'ye bölünmezler). B kümesindeki elemanların hepsi 4'ün katıdır (çift sayılardır). Bu durum kesişim kümesi hakkında ne söyler?

Daha Fazla Pratik

EBOB yerine EKOK koşulu verilen benzer bir küme problemi çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanlarını tek tek listeleyerek de çözüm yapılabilir, ancak sayılar az olduğu için bu yöntem güvenilirdir: A={3, 15, 21...}, B={4, 20, 28...}
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 9Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣x=3k+1, k∈Z}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 3k + 1, \, k \in \mathbb{Z} \}
B={x∈Z∣x=4m+2, m∈Z}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 4m + 2, \, m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: { x ∈ ℤ | x = 12n + 10, n ∈ ℤ }

Cevap

A ve B kümelerinin kesişimi, 12 ile bölümünden 10 kalanını veren tam sayılar kümesidir.
Kesişim kümesindeki bir eleman hem x=3k+1x = 3k + 1 hem de x=4m+2x = 4m + 2 koşulunu sağlamalıdır. Bu, sayının 3 ile bölümünden 1, 4 ile bölümünden 2 kalanı vermesi demektir. Bu şartı sağlayan ilk pozitif sayı 10'dur (10=3⋅3+110 = 3\cdot3+1 ve 10=4⋅2+210 = 4\cdot2+2). Kesişimin periyodu ise 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12'dir. Dolayısıyla genel ifade 12n+1012n + 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman yapısını analiz et
A kümesi 3'e bölündüğünde 1 kalanını, B kümesi 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılardan oluşur.
Kesişim kümesindeki bir x sayısı her iki koşulu da (x ≡ 1 mod 3 ve x ≡ 2 mod 4) sağlamalıdır.
2
Denkliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bul
x = 10 sayısı; 10 = 3(3)+1 ve 10 = 4(2)+2 koşullarını sağlar.
Ortak elemanların oluşturduğu dizinin başlangıç noktasını belirlemek gerekir.
3
Genel terimi (periyodu) belirle
Periyot EKOK(3, 4) = 12'dir. Genel ifade x = 12n + 10 olur.
İki aritmetik dizinin ortak elemanları, artış miktarlarının EKOK'u kadar aralıklarla tekrar eder.

Anahtar Kavram

Periyodik Kümelerin Kesişimi (Modüler Aritmetik)

İpuçları

1
Kesişim kümesindeki bir sayı, hem A kümesinin hem de B kümesinin kuralına uymalıdır. Birkaç küçük sayı yazarak (örneğin 1 ile 20 arası) her iki kümede de bulunan sayıları tespit etmeyi deneyin.
2
Sayının artış miktarı (periyodu), A'nın artış miktarı (3) ve B'nin artış miktarının (4) En Küçük Ortak Katı (EKOK) olmalıdır.
3
Hem 3'e bölündüğünde 1 kalanını, hem de 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük pozitif sayı 10'dur. Artış miktarı ise EKOK(3,4)=12'dir. Genel formül bu iki bilgiyi birleştirir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla '3 ile bölündüğünde 1, 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar' kümesini ifade etmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki ifadelerden n=0 veya n=1 için değerler üretip, bu değerlerin A ve B kümelerinin tanımlarına uyup uymadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin, doğru cevaptaki n=0 için x=10 değeri; 10 = 3(3)+1 (A'ya uyar) ve 10 = 4(2)+2 (B'ye uyar) kontrolü yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde bir AA kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z | x2−4x+20x−4∈Z} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \ \middle| \ \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

A kümesinin elemanlarının toplamı 48'dir.
Verilen ifade düzenlendiğinde x+20x−4x + \frac{20}{x-4} elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için (x−4)(x-4), 20'nin bir böleni olmalıdır. 20'nin tam sayı bölenleri: {±1,±2,±4,±5,±10,±20}\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\} olmak üzere 12 tanedir. Her bir bölen dd için x=d+4x = d + 4 değerini alır. Tüm xx değerlerinin toplamı: ∑(d+4)=∑d+∑4\sum (d + 4) = \sum d + \sum 4. Bölenlerin toplamı (∑d\sum d) simetrik oldukları için 0'dır. O halde toplam 12×4=4812 \times 4 = 48 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya cebirsel düzenleme ile basitleştir.
x2−4x+20x−4=x(x−4)+20x−4=x+20x−4 \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} = \frac{x(x-4) + 20}{x - 4} = x + \frac{20}{x - 4}
İfadenin tam sayı olma koşulunu daha kolay analiz etmek için tam kısım ile kesirli kısmı ayırırız.
2
İfadenin tam sayı olması için (x−4)(x - 4)'ün 20'nin tam sayı böleni olması gerektiğini belirle.
x−4∈{±1,±2,±4,±5,±10,±20}x - 4 \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}
xx bir tam sayı olduğundan, 20/(x−4)20 / (x-4) ifadesinin de tam sayı olması gerekir. Bu da paydanın 20'yi tam bölmesini gerektirir.
3
Her bir bölen değeri için xx değerlerini bul ve topla.
Toplam =48= 48.
Her bölen (dd) için x=d+4x = d + 4 eşitliği geçerlidir. Bölenlerin toplamı 0 olduğundan, toplam sadece öteleme miktarına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Tam Sayılarda Bölünebilme ve Küme Tanımı

İpuçları

1
İfadeyi x+Ax−4x + \frac{A}{x-4} biçiminde yazmaya çalışın.
2
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. 20 sayısının tüm tam sayı bölenlerini (negatifler dahil) düşünün.
3
Her bir bölen değeri dd için, x−4=dx - 4 = d eşitliğinden x=d+4x = d + 4 elde edilir. Bu xx değerlerinin toplamını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x2+10x+1\frac{x^2+10}{x+1} ifadesinin tam sayı olduğu kaç farklı doğal sayı değeri olduğu sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Bölenleri tek tek bulmak yerine, simetri özelliğini kullanabilirsiniz. x−4x - 4 ifadesi dd değerlerini alır. Toplam x=∑(d+4)=∑d+∑4x = \sum (d+4) = \sum d + \sum 4. ∑d=0\sum d = 0 olduğu için sonuç sadece n×4n \times 4 olur (nn: bölen sayısı).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Aşağıda AA kümesinin Venn şeması ile gösterimi verilmiştir:

Buna göre, AA kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {b,c}∈A\{b, c\} \in A

Cevap

Venn şemasında bir bütün olarak sınırlandırılmış olan {b,c}\{b, c\} ifadesi AA kümesinin bir elemanıdır ve {b,c}∈A\{b, c\} \in A gösterimi doğrudur.
Venn şemasında {b,c}\{b, c\} ifadesi bir sınırla çevrelenerek kümenin içine yerleştirilmiştir. Bu, {b,c}\{b, c\} yapısının AA kümesi için tek bir 'eleman' olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla {b,c}∈A\{b, c\} \in A gösterimi matematiksel olarak doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasındaki elemanları tek tek belirleyin.
AA kümesinin elemanları 33, aa, {b,c}\{b, c\} ve Δ\Delta olarak tespit edilir.
Venn şemasında her bir nokta veya işaretli grup kümenin bir elemanını temsil eder.
2
Eleman sayısını (s(A)s(A)) hesaplayın.
s(A)=4s(A) = 4.
{b,c}\{b, c\} yapısı küme içinde tek bir nesne olarak yer aldığı için bir eleman olarak sayılır.
3
Seçeneklerdeki sembolik ifadelerin doğruluğunu kontrol edin.
{b,c}\{b, c\} ifadesi kümenin bir elemanı olduğu için ∈\in sembolü ile gösterilmesi uygundur.
Bir nesne bir kümenin elemanı ise nesne ile küme arasına ∈\in sembolü konur.

Anahtar Kavram

Küme Elemanı ve Sembolik Gösterimler

İpuçları

1
Venn şemasında her bir noktanın yanındaki ifadeye odaklanın. Eğer bir grup eleman küçük bir çember veya kutu içine alınmışsa, o grubun tamamı tek bir elemandır.
2
Eleman sayısı hesaplanırken (s(A)s(A)), parantezli veya gruplanmış ifadeleri tek bir nesne gibi saymayı unutmayın.
3
Bir eleman olduğu gibi yazıldığında yanına ∈\in sembolü gelmelidir. Eğer eleman zaten parantezliyse, paranteziyle birlikte yazılıp ∈\in sembolü konur.

Daha Fazla Pratik

Farklı eleman tiplerine (sayı, harf, küme, sembol) sahip kümelerin eleman sayılarını bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →

Tam sayılar kümesi (mathbbZ\\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi verilmiştir:

A=leftxinmathbbZ;middle∣;frac4x+24x+3inmathbbZtextvex2<30rightA = \\left\\{ x \\in \\mathbb{Z} \\;\\middle|\\; \\frac{4x + 24}{x + 3} \\in \\mathbb{Z} \\text{ ve } x^2 < 30 \\right\\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 7'dir.
Kümeyi tanımlayan iki koşulun (bölünebilme ve eşitsizlik) aynı anda sağlanması gerekir. İfade düzenlendiğinde x+3x+3'ün 12'nin böleni olması gerektiği bulunur. Bu bölenlerden elde edilen xx adayları arasından karesi 30'dan küçük olanlar süzüldüğünde 7 eleman (−5,−4,−2,−1,0,1,3-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3) kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cebirsel ifadeyi tam kısımlı kesre çevir.
4x+24x+3=4(x+3)+12x+3=4+12x+3\frac{4x + 24}{x + 3} = \frac{4(x + 3) + 12}{x + 3} = 4 + \frac{12}{x + 3}
İfadenin tam sayı olması için 12x+3\frac{12}{x+3} kısmının tam sayı olması gerektiğini görmek için.
2
x+3x+3 ifadesinin alabileceği değerleri (12'nin tam sayı bölenlerini) belirle.
x+3∈{−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}x+3 \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\}
12'yi tam bölen tüm negatif ve pozitif tam sayıları listelemek gerekir.
3
Her bir bölen değeri için xx değerlerini bul (x=bo¨len−3x = \text{bölen} - 3).
Olası xx değerleri: {−15,−9,−7,−6,−5,−4,−2,−1,0,1,3,9}\{-15, -9, -7, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 9\}
Kümeyi oluşturacak aday elemanları belirlemek için.
4
x2<30x^2 < 30 koşulunu sağlayan xx değerlerini seç.
x2<30x^2 < 30 aralığı yaklaşık (−5.47,5.47)(-5.47, 5.47)'dir. Bu aralıktaki değerler: {−5,−4,−2,−1,0,1,3}\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3\}. (Not: −6-6 için (−6)2=36>30(-6)^2=36 > 30 olduğundan elenir).
Tanım kümesindeki ikinci kısıtlamayı (eşitsizliği) sağlamak için.
5
Elde edilen elemanları say.
Küme {−5,−4,−2,−1,0,1,3}\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3\} olup eleman sayısı 7'dir.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve Tam Sayı Bölünebilme

İpuçları

1
Verilen kesri, tam sayılı kesir biçiminde 4+Ax+34 + \frac{A}{x+3} olarak yazmaya çalışın.
2
İfadenin tam sayı olması için x+3x+3 değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır (negatifler dahil). xx değerlerini buna göre bulun.
3
Bulduğunuz xx adaylarının karesinin 30'dan küçük olup olmadığını kontrol edin (−6-6'nın karesine dikkat edin).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi Z+\mathbb{Z}^+ üzerinde tanımlı KK kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

K={x∈Z+∣x≤150 ve EBOB(x,36)=9}K = \{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 150 \text{ ve } \text{EBOB}(x, 36) = 9 \}

Buna göre, KK kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

K kümesinin eleman sayısı 8'dir.
Doğru cevap, EBOB(x, 36) = 9 şartının matematiksel analizine dayanır. x=9kx = 9k dönüşümü yapıldığında şart EBOB(k,4)=1EBOB(k, 4) = 1 haline gelir. Bu da kk'nın 4 ile aralarında asal olmasını, yani kk'nın tek sayı olmasını gerektirir. 150 sınırına kadar olan 9'un katları içinde (k≤16k \le 16) sadece tek olan kk değerleri (1, 3, ..., 15) çözümü sağlar. Bu da toplam 8 eleman demektir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme tanımındaki EBOB şartını analiz et.
EBOB(x, 36) = 9 olması için, x sayısı 9'un katı olmalıdır (x = 9k).
İki sayının en büyük ortak böleni 9 ise, her iki sayı da 9'a bölünmelidir.
2
EBOB şartını x = 9k dönüşümüyle basitleştir.
EBOB(9k, 36) = 9 ifadesi, 9 · EBOB(k, 4) = 9 şekline dönüşür. Buradan EBOB(k, 4) = 1 olmalıdır.
EBOB özelliğine göre sabit çarpan dışarı alınabilir.
3
k sayısı için gerekli şartı belirle.
EBOB(k, 4) = 1 olması için k ile 4 aralarında asal olmalıdır. 4 sayısı sadece 2 asal çarpanına sahip olduğundan (222^2), k sayısı 2'ye bölünmemelidir (yani k tek sayı olmalıdır).
Aralarında asallık şartı, ortak asal çarpan olmamasını gerektirir.
4
x ≤ 150 şartına göre k'nın alabileceği maksimum değeri bul.
9k ≤ 150 işleminden k ≤ 16,6... bulunur. k tam sayı olduğu için en çok 16 olabilir.
Elemanların üst sınır şartını sağlaması gerekir.
5
1 ile 16 arasındaki uygun k değerlerini say.
k sayısı 16'ya kadar olan tek sayılar olmalıdır: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}. Toplam 8 değer vardır.
k'nın tek sayı olması gerektiğini 3. adımda belirlemiştik.

Anahtar Kavram

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması ve EBOB özellikleri kullanılarak elemanların filtrelenmesi.

İpuçları

1
EBOB(x, 36) = 9 eşitliği, x sayısının 9'un bir katı olduğunu (x=9kx=9k) ancak 36 ile 9'dan daha büyük bir ortak böleni olmadığını anlatır.
2
x yerine 9k yazarak EBOB(9k, 36) ifadesini sadeleştirin. EBOB özelliğini kullanarak 9 parantezine alabilirsiniz.
3
9 · EBOB(k, 4) = 9 sonucuna ulaşmalısınız. Bu, k ile 4'ün aralarında asal olması demektir. 4 sadece 2 asal çarpanına sahip olduğuna göre k nasıl bir sayı olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı EBOB(x, 60) = 15 şartı ile deneyin (Burada x hem 3'e hem 5'e bölünecek ama 2'ye bölünmeyecek).

Alternatif Yöntem

Tüm adayları listeleyip eleme yöntemi: 150'ye kadar 9'un katlarını yazın (9, 18, 27, 36, ...). Her biri için 36 ile EBOB hesaplayın. Örneğin EBOB(18, 36)=18 (Olmaz), EBOB(27, 36)=9 (Olur). Bu şekilde çift katların elendiğini görebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 14Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi (Z+\mathbb{Z}^+) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z+∣120x∈Z}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ \mid \frac{120}{x} \in \mathbb{Z}\}
B={x∈A∣x<10}B = \{x \in A \mid x < 10\}

Buna göre, A∖BA \setminus B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Doğru cevap, 120'nin 10 ve 10'dan büyük pozitif bölenlerinin sayısıdır. A kümesi 120'nin tüm bölenlerini, B kümesi ise 10'dan küçük bölenlerini içerir. Fark kümesi geriye kalan {10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} elemanlarından oluşur ve toplam 9 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle (120 sayısının pozitif tam bölenleri).
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Tanım gereği x, 120'yi tam bölen pozitif tam sayılardır.
2
B kümesinin elemanlarını belirle (A kümesindeki elemanlardan 10'dan küçük olanlar).
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
B kümesi, A'nın alt kümesidir ve x < 10 şartını sağlamalıdır.
3
A \ B kümesini bul (A'da olup B'de olmayanlar, yani 10 ve 10'dan büyük bölenler).
A \ B = {10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Fark kümesi tanımı gereği B'deki elemanlar A'dan çıkarılır.
4
Elde edilen kümenin eleman sayısını hesapla.
s(A \ B) = 9
Sonuç kümesindeki elemanlar sayılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi ve eleman sayısı hesabı.

İpuçları

1
Önce A kümesini açık şekilde yazmayı dene. 120 sayısını tam bölen pozitif sayıları listele.
2
A kümesindeki sayılardan hangileri 10'dan küçüktür? Bunlar B kümesini oluşturur.
3
A kümesinden B kümesinde olanları çıkarırsan geriye 10 ve 10'dan büyük bölenler kalır. Bunları say.

Alternatif Yöntem

120 sayısının toplam pozitif bölen sayısını formülle bulup (16), 10'dan küçük olanları tek tek sayıp (7) çıkarmak: 16 - 7 = 9.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={x∈Z:4x+20x+1∈Z} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} : \frac{4x + 20}{x + 1} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Kümenin elemanlarının toplamı -10'dur.
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. Polinom bölmesi yapılarak ifade 4+16x+14 + \frac{16}{x+1} haline getirilir. Buradan x+1x+1'in 16'nın tam sayı bölenleri olması gerektiği anlaşılır. 16'nın 10 adet tam sayı böleni vardır (negatifler dahil). Bu bölenlerin her birinden 1 çıkarılarak xx değerleri bulunur ve toplandığında -10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi tam sayılı kesre dönüştürerek analiz et.
4x+20x+1=4(x+1)+16x+1=4+16x+1\frac{4x + 20}{x + 1} = \frac{4(x + 1) + 16}{x + 1} = 4 + \frac{16}{x + 1}
Bu dönüşüm, xx'in hangi değerleri alabileceğini bulmak için (x+1)(x+1) ifadesinin 16'nın böleni olması gerektiğini gösterir.
2
16 sayısının tam sayı bölenlerini belirle.
Bölenler kümesi: {−16,−8,−4,−2,−1,1,2,4,8,16}\{-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16\}
Tam sayılar kümesinde çalıştığımız için negatif bölenler de unutulmamalıdır.
3
Her bir bölen için uygun xx değerlerini hesapla (x+1=bo¨len⇒x=bo¨len−1x+1 = \text{bölen} \Rightarrow x = \text{bölen} - 1).
xx değerleri: {−17,−9,−5,−3,−2,0,1,3,7,15}\{-17, -9, -5, -3, -2, 0, 1, 3, 7, 15\}
Bölenlerin her birinden 1 çıkarılarak kümenin elemanları bulunur.
4
Bulunan xx değerlerini topla.
(−17−9−5−3−2)+(0+1+3+7+15)=−36+26=−10(-17-9-5-3-2) + (0+1+3+7+15) = -36 + 26 = -10
Tüm negatif ve pozitif değerlerin toplamı sonuçtur.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda bölünebilme ve küme oluşturma (Ortak özellik yöntemi)

İpuçları

1
Verilen kesirli ifadeyi 4+16x+14 + \frac{16}{x+1} şeklinde yazmayı deneyin.
2
İfadenin tam sayı olması için (x+1)(x+1) ifadesinin 16 sayısını tam bölmesi gerekir.
3
Tam sayılar kümesinde negatif bölenleri de unutmayın. 16'nın bölenlerini (dd) bulup x=d−1x = d - 1 eşitliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla B={x∈N:12x−2∈Z}B = \{x \in \mathbb{N} : \frac{12}{x-2} \in \mathbb{Z}\} kümesinin eleman toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Bölenlerin toplamı (∑d\sum d) 0 olduğundan, her bir xx değeri için x=d−1x = d - 1 yazıp toplarsak: ∑x=∑(d−1)=∑d−∑1=0−(10×1)=−10\sum x = \sum (d - 1) = \sum d - \sum 1 = 0 - (10 \times 1) = -10 sonucuna daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde AA kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣18∣x∣+1∈Z ve x<5}A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{18}{|x| + 1} \in \mathbb{Z} \text{ ve } x < 5 \right\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 8'dir.
Verilen küme tanımına göre, ∣x∣+1|x|+1 sayısı 18'in bölenleri olmalıdır. Bu durumda ∣x∣|x| değerleri 0, 1, 2, 5, 8 ve 17 olabilir. Buradan elde edilen xx tam sayıları {0,±1,±2,±5,±8,±17}\{0, \pm1, \pm2, \pm5, \pm8, \pm17\} kümesini oluşturur. Ancak soruda verilen x<5x < 5 koşulu nedeniyle 5, 8 ve 17 değerleri elenir. Geriye kalan {0,1,−1,2,−2,−5,−8,−17}\{0, 1, -1, 2, -2, -5, -8, -17\} değerleri kümeyi oluşturur ve toplam 8 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki ilk koşulu analiz et.
∣x∣+1|x| + 1 ifadesi 18 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden biri olmalıdır.
Kesrin sonucunun tam sayı (Z\mathbb{Z}) olması için payda, payı tam bölmelidir.
2
18 sayısının pozitif bölenlerini listele.
Bölenler: {1,2,3,6,9,18}\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}
Olası tüm ∣x∣+1|x|+1 değerlerini belirlemek için.
3
∣x∣|x| değerlerini bulmak için her bölenden 1 çıkar.
∣x∣∈{0,1,2,5,8,17}|x| \in \{0, 1, 2, 5, 8, 17\}
∣x∣+1=k  ⟹  ∣x∣=k−1|x| + 1 = k \implies |x| = k - 1 denklemini çözmek için.
4
Mutlak değerden xx değerlerine geçiş yap.
x∈{0,1,−1,2,−2,5,−5,8,−8,17,−17}x \in \{0, 1, -1, 2, -2, 5, -5, 8, -8, 17, -17\}
∣x∣=a|x| = a ise x=ax = a veya x=−ax = -a olur (0 hariç).
5
İkinci koşul olan x<5x < 5 kısıtlamasını uygula.
Elenenler: 5,8,175, 8, 17. Kalanlar: {0,1,−1,2,−2,−5,−8,−17}\{0, 1, -1, 2, -2, -5, -8, -17\}
Küme tanımındaki 've' bağlacı her iki şartın da sağlanmasını gerektirir.
6
Kalan elemanları say.
Toplam 8 eleman vardır.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler

İpuçları

1
Kesrin tam sayı olması için paydanın (∣x∣+1|x|+1) payı (18) tam bölmesi gerekir.
2
18'in bölenlerini düşünerek olası ∣x∣|x| değerlerini bulun, ardından xx tam sayılarını listeleyin.
3
∣x∣=17|x|=17 olduğunda xx hem 17 hem de -17 olabilir. x<5x < 5 şartını sağlayanları seçmeyi unutmayın.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 17Soru →

Ortak özellik yöntemi ile A={x∣x<10, x bir asal sayı}A = \{x \mid x < 10, \text{ } x \text{ bir asal sayı}\} şeklinde tanımlanan kümenin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{2, 3, 5, 7\}

Cevap

Doğru cevap {2, 3, 5, 7} elemanlarından oluşan kümedir.
Verilen küme tanımı, 10'dan küçük ve asal olan sayıları istemektedir. 10'dan küçük asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir. Bu elemanların liste yöntemiyle gösterimi ise elemanların süslü parantez içinde yazılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin tanımındaki koşulları analiz et.
x<10x < 10 ve xx bir asal sayı olmalı.
Kümenin hangi sayıları kapsadığını anlamak için verilen matematiksel kısıtlamaları belirlemek gerekir.
2
10'dan küçük asal sayıları belirle.
2, 3, 5 ve 7.
Asal sayılar 1'den büyük, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. 10'dan küçük olanlar incelendiğinde bu dört sayı bulunur.
3
Belirlenen elemanları liste yöntemiyle yaz.
{2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}
Liste yöntemi, elemanların süslü parantez içine aralarına virgül konularak yazılmasıdır.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yönteminden Liste Yöntemine Geçiş

İpuçları

1
Kümenin elemanlarını bulmak için '10'dan küçük' ve 'asal sayı' olma koşullarının her ikisini de sağlayan sayıları düşünün.
2
En küçük asal sayının 2 olduğunu ve 1'in asal sayı olmadığını hatırlayın.
3
10'dan küçük rakamları (0-9) sırayla kontrol edin: 2, 3, 5 ve 7'nin sadece 1'e ve kendisine bölündüğünü göreceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Eleman sayıları verilen bu kümenin alt küme sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 18Soru →

M={x∣x,"MATEMATI˙K" kelimesinin bir harfidir}M = \{ x \mid x, \text{"MATEMATİK" kelimesinin bir harfidir} \} ve N={x∣x,"I˙STATI˙STI˙K" kelimesinin bir harfidir}N = \{ x \mid x, \text{"İSTATİSTİK" kelimesinin bir harfidir} \} kümeleri veriliyor. Bu kümeler kullanılarak S={M,N,{M,N},∅}S = \{ M, N, \{M, N\}, \emptyset \} kümesi oluşturuluyor.

Buna göre, SS kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: N⊆SN \subseteq S

Cevap

N kümesinin S kümesinin alt kümesi olduğunu belirten ifade yanlıştır çünkü N kümesi S'nin bir alt kümesi değil, bir elemanıdır.
Doğru cevap olan ifade yanlıştır çünkü N kümesi S kümesinin bir elemanı olarak tanımlanmıştır (N∈SN \in S). Bir kümenin alt küme (⊆\subseteq) olabilmesi için o kümenin tüm elemanlarının hedef kümede bulunması gerekir. N kümesinin elemanları harflerdir (İ, S, T, A, K), oysa S kümesinin elemanları harf değil, kütüphane gibi kümelerin kendisidir. Dolayısıyla harfler S'nin elemanı olmadığı için N kümesi S'nin alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
M ve N kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazıp eleman sayılarını bulun.
M={M,A,T,E,I˙,K}⇒s(M)=6M = \{M, A, T, E, İ, K\} \Rightarrow s(M) = 6 ve N={I˙,S,T,A,K}⇒s(N)=5N = \{İ, S, T, A, K\} \Rightarrow s(N) = 5.
Kelime içindeki tekrar eden harfler kümede bir kez yazılır.
2
S kümesinin elemanlarını belirleyin.
SS kümesinin elemanları: MM kümesi, NN kümesi, {M,N}\{M, N\} kümesi ve ∅\emptyset (boş küme).
S kümesi ortak özellik yöntemiyle değil, elemanların listelenmesiyle verilmiştir; bu elemanların her biri birer kümedir.
3
Eleman olma (∈\in) ve alt küme olma (⊆\subseteq) kavramlarını kontrol edin.
NN bir bütün olarak SS'nin içindedir, yani N∈SN \in S. Ancak N⊆SN \subseteq S olabilmesi için I˙∈S,S∈S,…İ \in S, S \in S, \dots olması gerekirdi.
Bir kümenin alt kümesi, o kümenin elemanlarından oluşmalıdır. SS'nin elemanları harfler değil, kümelerdir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Farkı

İpuçları

1
Kümelerde aynı eleman birden fazla kez yazılmaz; kelimelerdeki harfleri sayarken buna dikkat edin.
2
S kümesinin elemanlarının neler olduğunu tek tek listeleyin. Bu elemanlar harf mi yoksa küme mi?
3
Bir kümenin alt küme olabilmesi için, o alt kümenin elemanlarının ana kümenin içinde 'eleman' olarak bulunması gerekir. N'nin elemanları harflerdir, S'nin içinde bu harfler tek başına var mı?

Daha Fazla Pratik

Kuvvet kümesi (power set) kavramını inceleyerek eleman ve alt küme ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek S kümesini büyük bir torba olarak hayal edin. Bu torbanın içine üzerinde 'M' yazan bir kutu, 'N' yazan bir kutu, içinde hem M hem N kutusu olan başka bir kutu ve bir boş kutu koyun. Torbanın içinde harfler değil, kutular (kümeler) vardır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 19Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin, B={1,2}B = \{1, 2\} kümesini kapsayan alt kümelerinden kaç tanesinin eleman sayısı 4 değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eleman sayısı 4 olmayan 10 adet alt küme vardır.
B kümesini kapsayan tüm alt kümelerin sayısından (16), eleman sayısı tam olarak 4 olan alt kümelerin sayısı (6) çıkarılarak 10 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan tüm alt kümelerin sayısını hesapla.
B⊂K⊆AB \subset K \subseteq A şartını sağlayan KK kümeleri için, B={1,2}B=\{1,2\} elemanları sabittir. Geriye kalan {3,4,5,6}\{3,4,5,6\} kümesinden (4 elemanlı) seçim yapılır. Toplam durum: 24=162^4 = 16.
Sabit elemanlar dışındaki elemanların oluşturacağı tüm kombinasyonlar hesaplanır.
2
İstenmeyen durumun (eleman sayısı 4 olanlar) sayısını hesapla.
KK kümesinin 4 elemanlı olması için, sabit olan 2 elemanın yanına, kalan 4 elemandan 2 tane daha seçilmelidir: C(4,2)=4⋅32⋅1=6C(4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6.
Eleman sayısı 4 olan kümeleri bulmak için kombinasyon hesabı yapılır.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
Sonuç = 16−6=1016 - 6 = 10.
Toplam sayıdan, şartı sağlamayan (eleman sayısı 4 olan) kümeler çıkarılarak cevaba ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin belirli elemanları kapsayan alt kümelerinin sayısı ve kombinasyon (seçme) mantığı.
Soru 20Soru →

Ortak özellik yöntemiyle A={x∣1<x2<20, x∈N}A = \{x \mid 1 < x^2 < 20, \text{ } x \in \mathbb{N}\} şeklinde tanımlanan AA kümesinin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{2, 3, 4\}

Cevap

Doğru cevap {2,3,4}\{2, 3, 4\} kümesidir.
Ortak özellik yönteminde verilen 1<x2<201 < x^2 < 20 şartını sağlayan doğal sayılar, karesi bu aralıkta olan 2,32, 3 ve 44 sayılarıdır. Bu elemanlar küme parantezi içinde yazıldığında doğru liste gösterimi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme şartlarını analiz etme
xx bir doğal sayı olmalı ve karesi (x2x^2), 11 ile 2020 arasında (fakat 11 ve 2020 hariç) kalmalıdır.
Ortak özellik yönteminde verilen şartlar kümenin hangi elemanlardan oluşacağını belirler.
2
Doğal sayıları deneme
02=00^2 = 0, 12=11^2 = 1, 22=42^2 = 4, 32=93^2 = 9, 42=164^2 = 16, 52=255^2 = 25 değerleri elde edilir.
Küme elemanlarını bulmak için tam sayı karelerini kontrol etmek gerekir.
3
Eşitsizliğe uygun değerleri seçme
1<4<201 < 4 < 20, 1<9<201 < 9 < 20 ve 1<16<201 < 16 < 20 olduğu için 2,32, 3 ve 44 değerleri şartı sağlar.
11 ve 2525 değerleri sınırların dışında kaldığı için elenir.
4
Küme liste yöntemini oluşturma
A={2,3,4}A = \{2, 3, 4\}
Bulunan elemanlar küme parantezi içinde aralarına virgül konularak yazılır.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yönteminden Liste Yöntemine Geçiş

İpuçları

1
Küme içindeki xx değerlerinin karesinin 11 ile 2020 arasında olması gerektiğini fark edin.
2
Doğal sayıları (0,1,2,…0, 1, 2, \dots) sırayla deneyerek hangi sayıların karesinin bu aralığa düştüğünü bulun.
3
22=42^2=4, 32=93^2=9 ve 42=164^2=16 değerlerinin verilen eşitsizliği sağladığını, ancak 12=11^2=1 ve 52=255^2=25 değerlerinin sağlamadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'tam sayılar' (Z\mathbb{Z}) kümesi için çözerek negatif sayıların etkisini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Sayfa 1 / 2Sonraki