Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDörtgenler

Bir ABCDABCD dışbükey dörtgeninde [AB]⊥[AD][AB] \perp [AD] ve ∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| eşitlikleri verilmiştir. Dörtgenin diğer kenar uzunlukları ∣BC∣=8|BC| = 8 cm, ∣DC∣=6|DC| = 6 cm ve açısı m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olduğuna göre, ABCDABCD dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. 13+12313 + 12\sqrt{3}Cevap
  2. B
    26+12326 + 12\sqrt{3}
  3. C
    13+24313 + 24\sqrt{3}
  4. D
    25+12325 + 12\sqrt{3}
  5. E
    49

Cevap

Dörtgenin alanı 13+12313 + 12\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Şekil BDBD köşegeni ile ikiye bölündüğünde; üstte oluşan ABDABD ikizkenar dik üçgeninin alanı hipotenüs karesinin 4'e bölümü (veya dik kenar karesinin yarısı) ile 13 bulunur. Altta kalan BCDBCD üçgeninin alanı ise sinüs teoremiyle 12312\sqrt{3} bulunur. Toplam alan bu iki değerin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
BB ve DD köşelerini birleştirerek dörtgeni iki üçgene (ABDABD ve BCDBCD) ayırın.
ABDABD ikizkenar dik üçgen, BCDBCD ise çeşitkenar üçgen olur.
Dörtgenin alanını bulmak için bilinen formülleri uygulayabileceğimiz parçalara ayırmamız gerekir.
2
BCDBCD üçgeninde DD noktasından [BC][BC] kenarına dikme indirin (veya Kosinüs Teoremi uygulayın) ve ∣BD∣|BD| uzunluğunu bulun.
∣BD∣2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos⁡(60∘)=36+64−48=52|BD|^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 64 - 48 = 52.
ABDABD üçgeninin alanını bulmak için hipotenüsü olan ∣BD∣|BD| uzunluğuna ihtiyacımız vardır.
3
ABDABD ikizkenar dik üçgeninin alanını hesaplayın.
∣AB∣=∣AD∣=a|AB| = |AD| = a dersek, a2+a2=∣BD∣2=52⇒2a2=52⇒a2=26a^2 + a^2 = |BD|^2 = 52 \Rightarrow 2a^2 = 52 \Rightarrow a^2 = 26. Alan(ABDABD) = a2/2=26/2=13a^2/2 = 26/2 = 13 cm2\text{cm}^2.
Dik kenarları eşit olan dik üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır.
4
BCDBCD üçgeninin alanını Sinüs Alan Formülü ile hesaplayın.
Alan(BCDBCD) = 12⋅6⋅8⋅sin⁡(60∘)=24⋅32=123\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
İki kenarı ve arasındaki açısı bilinen üçgenin alanı en kolay bu yöntemle bulunur.
5
İki üçgenin alanını toplayarak toplam alanı bulun.
Alan(ABCDABCD) = 13+12313 + 12\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Dörtgenin toplam alanı, parçalarının alanları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Genel dörtgenlerde alan hesabı için şeklin köşegen yardımıyla bilinen üçgenlere (ikizkenar dik üçgen ve özel açılı üçgen) ayrılması.

İpuçları

1
Dörtgeni BB ve DD noktalarını birleştiren bir köşegen çizerek iki farklı üçgene ayırmayı deneyin.
2
Oluşan BCDBCD üçgeninde 60∘60^\circ açısını kullanarak ∣BD∣|BD| uzunluğunu bulmak için DD'den [BC][BC]'ye dikme indirin veya Kosinüs Teoremini kullanın.
3
∣BD∣2=52|BD|^2 = 52 bulunacaktır. ABDABD üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğu için alanı ∣BD∣2/4|BD|^2 / 4 formülüyle kolayca bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda ancak açının 120 veya 150 derece verildiği sorular çözerek sinüs teoremi pratiği yapın.

Alternatif Yöntem

BCDBCD üçgeninde CC köşesinden dikme indirerek 30-60-90 üçgeni oluşturup taban ve yükseklik çarpımıyla da alan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru