Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Düzlemde bulunan 8 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• Doğrulardan 4 tanesi sabit bir A noktasında kesişmektedir.
• Doğrulardan 3 tanesi birbirine paraleldir.
• Geriye kalan 1 doğru ise diğer doğruların tamamını farklı noktalarda kesmektedir ve A noktasından geçmemektedir.

Buna göre, bu doğruların kesişimiyle en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    32
  2. 36Cevap
  3. C
    40
  4. D
    45
  5. E
    51

Cevap

Verilen şartlar altında toplam 36 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğru cevap 36'dır çünkü toplam C(8,3)=56C(8,3)=56 ihtimalden üçgen oluşturmayan durumlar (A noktasında kesişenler, 3'ü paralel olanlar ve 2'si paralel olanlar) çıkarıldığında geriye 36 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm doğruların herhangi bir kısıtlama olmadan oluşturabileceği toplam üçgen sayısını hesapla.
C(8,3)=8×7×63×2×1=56C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 üçgen.
8 doğrudan rastgele seçilen 3 doğrunun bir üçgen oluşturduğu varsayılır.
2
Tek bir noktada (A noktası) kesişen 4 doğrunun oluşturduğu geçersiz üçlüleri çıkar.
C(4,3)=4C(4, 3) = 4 durum çıkarılmalı.
Aynı noktadan geçen 3 doğru bir üçgen değil, bir nokta oluşturur.
3
Birbirine paralel olan 3 doğrunun kendi aralarında oluşturduğu geçersiz üçlüleri çıkar.
C(3,3)=1C(3, 3) = 1 durum çıkarılmalı.
3 paralel doğru asla kesişmez ve üçgen oluşturmaz.
4
2 tanesi paralel gruptan, 1 tanesi diğer doğrulardan seçilen geçersiz durumları çıkar.
C(3,2)×C(5,1)=3×5=15C(3, 2) \times C(5, 1) = 3 \times 5 = 15 durum çıkarılmalı.
2 paralel doğru birbiriyle kesişmeyeceği için, üçüncü bir doğru bunları kesse bile kapalı bir bölge (üçgen) oluşmaz.
5
Tüm sonuçları birleştirerek net üçgen sayısını bul.
56−4−1−15=3656 - 4 - 1 - 15 = 36 üçgen.
Toplam kombinasyon sayısından üçgen oluşturmayan tüm durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Üçgen Sayısı Bulma (Tüm Durumlar - Oluşmayan Durumlar)

İpuçları

1
Toplam üçgen sayısını bulmak için önce tüm doğruların oluşturabileceği üçlü kombinasyon sayısını hesaplayın (C(8,3)C(8,3)).
2
Üçgen oluşmasını engelleyen durumları toplamdan çıkarın: 3 doğrunun tek noktada kesişmesi veya doğruların paralel olması üçgen oluşumunu engeller.
3
Unutmayın: Seçilen 3 doğrudan sadece 2 tanesi bile birbirine paralelse, bu doğrular kesişmeyeceği için üçgen oluşamaz. Bu yüzden C(3,2)×dig˘erleriC(3,2) \times \text{diğerleri} durumunu da çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için '5'i bir çember üzerinde, 3'ü bir doğru üzerinde olan noktalarla kaç üçgen çizilebilir?' sorusunu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yapıcı Yöntem: Üçgen oluşturacak grupları belirleyip toplayabilirsiniz. 1) Hiç paralel seçilmeyenler (A grubundan ve 'diğer' doğrudan seçimler), 2) Sadece 1 paralel seçilenler. Ancak 'Çıkarma Yöntemi' bu soruda daha pratiktir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru