Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAlt Küme

Elemanları ardışık tam sayılardan oluşan bir AA kümesinin elemanları −4<n≤2-4 < n \leq 2 koşulunu sağlamaktadır. Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir pozitif tam sayı bulunur?

  1. A
    16
  2. B
    32
  3. 48Cevap
  4. D
    63
  5. E
    64

Cevap

Kümenin alt kümelerinin 48 tanesinde en az bir pozitif tam sayı bulunur.
En az bir pozitif tam sayı içeren alt kümeleri bulmak için 'tüm durumlar - istenmeyen durumlar' mantığı kullanılır. Küme s(A)=6s(A)=6 elemanlı olduğundan toplam 64 alt kümesi vardır. Kümedeki pozitif olmayan elemanlar {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} olup 4 tanedir. Bu 4 elemanla yazılabilecek 16 alt kümenin hiçbirinde pozitif sayı bulunmaz. Dolayısıyla 64 - 16 = 48 alt kümede en az bir pozitif sayı mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyin ve eleman sayısını bulun.
−4<n≤2-4 < n \leq 2 koşulunu sağlayan tam sayılar: {−3,−2,−1,0,1,2}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}. Eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 olur.
Alt küme hesaplamaları için öncelikle kümenin kaç elemanlı olduğunu bilmemiz gerekir.
2
Kümedeki tüm alt kümelerin sayısını hesaplayın.
26=642^6 = 64.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
İstenmeyen durumu (hiç pozitif sayı bulunmama) belirleyin ve sayısını bulun.
Pozitif olmayan elemanlar: {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} (4 adet). Bu elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısı: 24=162^4 = 16.
'En az bir' sorularında tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkarmak en kısa yoldur. Burada istenmeyen durum, seçilen alt kümede hiçbir pozitif sayının bulunmamasıdır.
4
İstenen durumu bulun.
64−16=4864 - 16 = 48.
Tüm alt kümelerden, sadece negatif ve sıfır elemanlardan oluşan alt kümeler çıkarıldığında, geriye kalan her alt kümede en az bir tane pozitif sayı (1 veya 2) kalması garanti edilir.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısının hesaplanması ve 'en az bir' koşulunun tümleyen (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) yöntemiyle çözülmesi.

İpuçları

1
Önce AA kümesinin elemanlarını listeleyerek kaç elemanlı olduğunu bulun.
2
Bir kümede 'en az bir' şartı varsa, tüm alt kümelerden bu şartı bozan (şartın hiç sağlanmadığı) durumları çıkarmayı deneyin.
3
Pozitif tam sayılar 1 ve 2'dir. Diğer 4 elemanla ({−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\}) oluşturulan alt kümeler pozitif sayı içermez. Bu 16 kümeyi toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'en az bir çift sayı içeren' veya 'en az bir asal sayı içeren' alt küme sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İstenen durumu parçalara ayırarak da çözebilirsiniz: Sadece 1 içerenler, sadece 2 içerenler ve hem 1 hem 2 içerenler. Bu da kombinasyon yoluyla C(6,1)+C(6,2)+...C(6,1) + C(6,2) + ... yerine daha karmaşık bir mantık gerektirir, bu yüzden tümleyen yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru