Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAlt Küme

A={1,2,3,…,10}A = \{1, 2, 3, \dots, 10\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, kümenin en küçük elemanı ile en büyük elemanının toplamı 11'dir?

  1. A
    171
  2. B
    340
  3. 341Cevap
  4. D
    511
  5. E
    682

Cevap

341
Soruda, alt kümenin en küçük (minmin) ve en büyük (maxmax) elemanlarının toplamının 11 olması istenmektedir. Kümeler tam sayılardan oluştuğu için min≠maxmin \neq max olmak zorundadır (toplam tek sayı). Bu şartı sağlayan (min,max)(min, max) çiftleri şunlardır: (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Her bir çift için, alt küme bu iki elemanı kesinlikle içermeli, geri kalan elemanlar ise bu iki sayı arasındaki sayılardan seçilmelidir. Aradaki eleman sayısı nn ise, o durum için 2n2^n farklı alt küme yazılabilir. Hesaplanan değerlerin toplamı (256+64+16+4+1256 + 64 + 16 + 4 + 1) 341 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin kısıtlarını ve temel mantığını belirle.
Alt kümenin en küçük elemanı xx, en büyük elemanı yy olsun. x+y=11x + y = 11 ve x≤yx \le y olmalıdır. Bir kümede elemanlar birbirinden farklı olduğu için x≠yx \neq y olmalıdır (çünkü x=yx=y ise 2x=112x=11 olur, x=5.5x=5.5 tam sayı değildir). Bu nedenle küme en az 2 elemanlı olmalıdır.
Soruda verilen toplam şartını sağlayan olası en küçük ve en büyük eleman çiftlerini tespit etmek için.
2
Toplamı 11 olan (x,y)(x, y) çiftlerini ve bu çiftler arasındaki eleman sayısını belirle.
Olası çiftler (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)'dır. Her çift için, bu iki sayı arasında kalan elemanlar alt kümeye dahil edilebilir veya edilmeyebilir.
Bir alt kümenin en küçük ve en büyük elemanı belirlendiğinde, diğer elemanlar sadece bu iki değer arasındaki sayılardan seçilebilir.
3
Her durum için oluşabilecek alt küme sayısını hesapla (2n2^n formülü ile).
Durum 1: {1,…,10}\{1, \dots, 10\} (Arada 2,3,..,92,3,..,9 var, 8 eleman) →28=256\rightarrow 2^8 = 256 durum.
Durum 2: {2,…,9}\{2, \dots, 9\} (Arada 3,..,83,..,8 var, 6 eleman) →26=64\rightarrow 2^6 = 64 durum.
Durum 3: {3,…,8}\{3, \dots, 8\} (Arada 4,..,74,..,7 var, 4 eleman) →24=16\rightarrow 2^4 = 16 durum.
Durum 4: {4,…,7}\{4, \dots, 7\} (Arada 5,65,6 var, 2 eleman) →22=4\rightarrow 2^2 = 4 durum.
Durum 5: {5,6}\{5, 6\} (Arada eleman yok, 0 eleman) →20=1\rightarrow 2^0 = 1 durum.
Aradaki her eleman kümede ya vardır ya yoktur, bu da alt küme sayısını verir.
4
Tüm durumları topla.
Toplam = 256+64+16+4+1=341256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 341.
Ayrık durumların toplam sayısı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma ve Sayma Prensipleri

İpuçları

1
Alt kümenin en küçük elemanı xx ve en büyük elemanı yy olsun. x+y=11x + y = 11 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) tam sayı çifti vardır?
2
Her (x,y)(x, y) çifti için, alt küme mutlaka xx ve yy'yi içermelidir. Diğer elemanlar ise xx ile yy arasındaki sayılardan seçilmelidir.
3
Çiftler: (1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Her çift için arada kalan eleman sayısını (nn) bulup 2n2^n değerlerini toplayın. Örneğin (5,6) arasında hiç sayı yoktur, n=0n=0 olur.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, en küçük ve en büyük eleman farkının sabit bir sayı olduğu durumlar incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Toplamı: ∑k=0422k=1+4+16+64+256=45−14−1=341\sum_{k=0}^{4} 2^{2k} = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 341 formülü ile seri toplamı olarak da düşünülebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru