Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYaş Problemleri

Yaşları birbirinden farklı tam sayılar olan Ahmet, Burak ve Cenk isimli üç arkadaşın yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ahmet, Burak'ın bugünkü yaşındayken; Cenk'in yaşı, Burak'ın bugünkü yaşının 13\frac{1}{3}'ü kadardı.
* Burak, Ahmet'in bugünkü yaşına geldiğinde; Cenk'in yaşı, Ahmet'in bugünkü yaşının yarısı olacaktır.

Buna göre, bu üç kişinin bugünkü yaşları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    60
  2. B
    66
  3. 69Cevap
  4. D
    72
  5. E
    75

Cevap

Üç arkadaşın yaşları toplamı 69 olabilir.
Denklem sistemi çözüldüğünde yaşların sırasıyla 10k,9k,4k10k, 9k, 4k orantısında olduğu görülür. Toplamları 23k23k eder. Seçeneklerde 23'ün katı olan tek sayı, k=3k=3 değeri için elde edilen 69'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet'in yaşı aa, Burak'ın yaşı bb ve Cenk'in yaşı cc olsun. Verilen bilgilerden Ahmet'in en büyük, Burak'ın ortanca olduğu anlaşılmaktadır (a>ba > b). İlk durumu denkleme dökeriz.
Ahmet, Burak'ın yaşındayken geçen süre t1=a−bt_1 = a - b yıldır. Bu durumda Cenk'in yaşı: c−(a−b)=c−a+bc - (a - b) = c - a + b. Verilen bilgiye göre: c−a+b=b3⇒3c−3a+3b=b⇒3a=2b+3cc - a + b = \frac{b}{3} \Rightarrow 3c - 3a + 3b = b \Rightarrow 3a = 2b + 3c (I. Denklem)
Geçmiş zamandaki yaş ilişkisini matematiksel ifadeye dönüştürmek.
2
İkinci durumu denkleme dökeriz.
Burak, Ahmet'in yaşına geldiğinde geçecek süre t2=a−bt_2 = a - b yıldır. Bu durumda Cenk'in yaşı: c+(a−b)c + (a - b). Verilen bilgiye göre: c+a−b=a2⇒2c+2a−2b=a⇒a+2c=2bc + a - b = \frac{a}{2} \Rightarrow 2c + 2a - 2b = a \Rightarrow a + 2c = 2b (II. Denklem)
Gelecek zamandaki yaş ilişkisini matematiksel ifadeye dönüştürmek.
3
Elde edilen iki denklemi ortak çözeriz. II. denklemdeki 2b2b ifadesini I. denklemde yerine yazarız.
3a=(a+2c)+3c⇒3a=a+5c⇒2a=5c3a = (a + 2c) + 3c \Rightarrow 3a = a + 5c \Rightarrow 2a = 5c. Buradan c=2a5c = \frac{2a}{5} bulunur.
Değişken sayısını azaltarak yaşlar arasındaki oranı bulmak.
4
Bulduğumuz cc değerini II. denklemde yerine yazarak bb'yi aa cinsinden ifade ederiz.
2b=a+2(2a5)⇒2b=5a+4a5⇒2b=9a5⇒b=9a102b = a + 2(\frac{2a}{5}) \Rightarrow 2b = \frac{5a + 4a}{5} \Rightarrow 2b = \frac{9a}{5} \Rightarrow b = \frac{9a}{10}.
Tüm yaşları tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
5
Yaşların tam sayı olması gerektiği için a,b,ca, b, c değerlerini orantılı bir kk sayısı ile ifade ederiz.
aa sayısı hem 5'e hem 10'a bölünebilmeli, a=10ka=10k olsun. O halde: c=4kc = 4k, b=9kb = 9k olur. Yaşlar: Ahmet=10k, Burak=9k, Cenk=4k.
Kesirli ifadelerden kurtulup tam sayı katlarını belirlemek.
6
Yaşların toplamını hesaplayıp seçenekleri kontrol ederiz.
Toplam =10k+9k+4k=23k= 10k + 9k + 4k = 23k. Sonuç 23'ün bir tam sayı katı olmalıdır. Seçenekler arasında 23'ün katı olan tek sayı 69'dur (k=3k=3 için).
Doğru cevabı seçenekler arasından tespit etmek.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde kişiler arasındaki yaş farkının sabit kalması ve zamanın herkes için eşit işlemesi prensibi üzerine kurulu denklem sistemleri.

İpuçları

1
Ahmet'in yaşına aa, Burak'ın yaşına bb, Cenk'in yaşına cc diyerek iki ayrı durumu matematiksel eşitliğe dökün. Ahmet'in Burak'ın yaşına inmesi için (a−b)(a-b) yıl geriye gitmek gerekir.
2
İki denklem elde edeceksiniz: 1) c−(a−b)=b/3c - (a-b) = b/3 ve 2) c+(a−b)=a/2c + (a-b) = a/2. Bu iki denklemdeki bb ve cc değerlerini aa cinsinden ifade etmeye çalışın.
3
Denklemleri çözdüğünüzde c=2/5ac = 2/5 a ve b=9/10ab = 9/10 a bulacaksınız. Yaşların tam sayı olması için aa'nın 10'un katı olması gerekir. Toplamı kk cinsinden ifade edin.

Daha Fazla Pratik

Bir babanın yaşının, iki çocuğunun yaşları toplamına oranı ile ilgili, zaman değişimli sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: Ahmet'in yaşı 10'un katı (paydalar 2 ve 5 olduğu için) olmalıdır. a=10,20,30...a=10, 20, 30... vererek bb ve cc hesaplanıp şartların sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yaş Problemleri

Bu konudan daha fazla soru