Examkin

Soru

Zorluk: OrtaŞekil Yeteneği ve Küp Sayma

Aşağıda birim küplerden oluşturulmuş, tabanı 3×33 \times 3 karesel bölge olan bir yapı verilmiştir. Yapının köşelerindeki sütunlar 2 birim, kenar ortalarındaki sütunlar 1 birim ve tam ortadaki sütun 3 birim yüksekliğindedir.

Buna göre, bu yapının toplam yüzey alanı kaç birim karedir?

  1. A
    46
  2. B
    50
  3. C
    52
  4. 54Cevap
  5. E
    58

Cevap

Yapının toplam yüzey alanı 54 birim karedir.
Doğru cevap 54'tür. Alternatif bir yöntem (Projeksiyon Yöntemi) ile de doğrulanabilir:
1. Alt ve Üst Görünüm: Taban 3×3=93 \times 3 = 9, Üstten görünüm de 9 birim kare. (Toplam 18)
2. Ön ve Arka Görünüm: Ön profil en yüksek sütunları görür. Köşe (2), Orta (1), Köşe (2) sütunları arkadaki daha yüksek sütunları maskeler mi? Hayır. Önden bakınca en yüksek sütunlar: Sol(2), Orta(3), Sağ(2). Alan = 2+3+2=72+3+2 = 7. Arkadan da aynı: 7. (Toplam 14)
3. Sağ ve Sol Görünüm: Benzer şekilde profil 2+3+2=72+3+2 = 7. (Toplam 14)
4. Projeksiyon Toplamı: 18+14+14=4618 + 14 + 14 = 46 birim kare.
5. İç Duvarlar (Fark): Orta kule (yükseklik 3) ile yanındaki kenar sütunları (yükseklik 1) arasında yükseklik farkı 2'dir. Orta kulenin 4 yan yüzeyi bu fark kadar açıktadır: 4 yu¨z×2 birim=84 \text{ yüz} \times 2 \text{ birim} = 8 birim kare eklenmelidir.
6. Sonuç: 46+8=5446 + 8 = 54.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam küp sayısını belirle.
Taban (1. kat): 9 küp. 2. kat: 4 köşe + 1 orta = 5 küp. 3. kat: 1 orta = 1 küp. Toplam küp sayısı: 9+5+1=159 + 5 + 1 = 15 küp.
Toplam yüzey alanını bulmak için önce yapıyı oluşturan tüm parçaların sayısı bilinmelidir.
2
Maksimum olası yüzey alanını hesapla (hiçbir küp birbirine değmeseydi).
15 ku¨p×6 yu¨z=9015 \text{ küp} \times 6 \text{ yüz} = 90 birim kare.
Bu değerden çakışan (yapışık) yüzeyleri çıkararak gerçek alanı bulacağız.
3
Çakışan (temas eden) yüzey sayısını hesapla.
Dikey temaslar (üst üste): 2. katın altındaki 5 yüzey + 3. katın altındaki 1 yüzey = 6 temas (6×2=126 \times 2 = 12 kayıp yüzey). Yatay temaslar (yan yana): 1. katta 12 temas (12×2=2412 \times 2 = 24 kayıp yüzey). 2. ve 3. katta yan yana temas yok. Toplam kayıp yüzey: 12+24=3612 + 24 = 36.
Her temas eden yüzey çifti, dış yüzey alanından 2 birim kare eksiltir.
4
Toplam alandan kayıp yüzeyleri çıkar.
90−36=5490 - 36 = 54 birim kare.
Maksimum alandan içte kalan yüzeyleri çıkararak dış yüzey alanı bulunur.

Anahtar Kavram

Yüzey Alanı Hesaplama ve Birim Küp Sayma

İpuçları

1
Yapıyı oluşturan toplam küp sayısını bulup, her bir küpün 6 yüzü olduğunu düşünerek başlayın.
2
Küpler birbirine yapıştığında, temas eden her yüzey dış dünyadan gizlenir ve alan hesabına katılmaz. Kaç yüzeyin birbirine değdiğini sayın.
3
Her temas (yapışma), toplam alandan 2 birim kare eksiltir. Toplam 18 temas noktası vardır (6 dikey, 12 yatay).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yapının içinden bir tünel açıldığında yüzey alanının nasıl değişeceğini soran bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

Bu konudan daha fazla soru