Examkin

Soru

Zorluk: ZorPermütasyon (Sıralama)

A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3000'den büyük ve çift olan dört basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

  1. A
    60
  2. B
    72
  3. 96Cevap
  4. D
    108
  5. E
    156

Cevap

İstenen şartları sağlayan 96 farklı doğal sayı yazılabilir.
Sayı 3000'den büyük ve çift olmalıdır. Binler basamağı {3,4,5}\{3, 4, 5\} ve birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} olabilir. 4 rakamı her iki kümede de bulunduğu için işlem iki duruma ayrılır:

1. Binler basamağı 3 veya 5 ise:
- Binler: 2 seçenek (3, 5)
- Birler: 3 seçenek (0, 2, 4)
- Ara basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si (4×3=124 \times 3 = 12)
- Toplam: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72

2. Binler basamağı 4 ise:
- Binler: 1 seçenek (4)
- Birler: 2 seçenek (0, 2) (4 kullanıldığı için)
- Ara basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si (4×3=124 \times 3 = 12)
- Toplam: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24

Sonuç olarak toplam 72+24=9672 + 24 = 96 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki kısıtlamaları belirle.
Rakamlar: {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, Sayı: 4 basamaklı, Rakamları farklı, Çift, >3000>3000.
Permütasyon hesabında kullanılacak şartları netleştirmek gerekir.
2
Binler basamağına gelebilecek rakamları belirle.
Sayı 3000'den büyük olacağı için binler basamağı {3,4,5}\{3, 4, 5\} olabilir.
Sayının büyüklük şartı en soldaki basamağı belirler.
3
Birler basamağına gelebilecek rakamları belirle ve çakışma durumunu analiz et.
Sayı çift olacağı için birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} olabilir. 4 rakamı hem binler hem birler basamağı kümelerinde ortaktır.
Kümelerdeki ortak eleman (4), seçme işleminin sonucunu değiştireceği için durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
4
Durum 1: Binler basamağı 3 veya 5 (Tek Sayı) ise hesapla.
Binler basamağı (3, 5) için 2 seçenek. Birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} (hiçbiri kullanılmadı) için 3 seçenek. Aradaki 2 basamak için kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Hesap: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72.
Başlangıç rakamı tek olduğunda birler basamağındaki çift sayı seçenekleri azalmaz.
5
Durum 2: Binler basamağı 4 (Çift Sayı) ise hesapla.
Binler basamağı (4) için 1 seçenek. Birler basamağı {0,2}\{0, 2\} (4 kullanıldı) için 2 seçenek. Aradaki 2 basamak için yine 4×3=124 \times 3 = 12. Hesap: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24.
Başlangıç rakamı çift olduğunda birler basamağı için bir seçenek eksilir.
6
Tüm durumları topla.
72+24=9672 + 24 = 96.
Ayrık durumların (veya olayların) toplamı toplam permütasyon sayısını verir.

Anahtar Kavram

Permütasyon problemlerinde, eğer bir eleman birden fazla kısıtlama kümesinde (hem başta hem sonda) yer alıyorsa, işlemler bu elemanın durumuna göre ayrı ayrı incelenip toplanmalıdır (Toplama Kuralı).

İpuçları

1
Sayının 3000'den büyük olması için binler basamağı hangi rakamlar olabilir? Sayının çift olması için birler basamağı hangileri olabilir?
2
4 rakamı hem binler basamağı kümesinde (büyüklük şartı) hem de birler basamağı kümesinde (çiftlik şartı) yer almaktadır. Bu durumda tek bir çarpma işlemi yapmak yerine durumları ayırmalısın.
3
İki durumu ayrı ayrı topla: 1) Binler basamağının 4 olduğu durum. 2) Binler basamağının 3 veya 5 olduğu durum.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon (Sıralama)

Bu konudan daha fazla soru