Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

ABCDABCD bir paralelkenardır. EE noktası [DC][DC] kenarı üzerinde, FF noktası ise [BC][BC] kenarı üzerindedir. Alan(ADE)=12 cm2Alan(ADE) = 12 \text{ cm}^2, Alan(ABF)=15 cm2Alan(ABF) = 15 \text{ cm}^2 ve Alan(EFC)=8 cm2Alan(EFC) = 8 \text{ cm}^2 olduğuna göre, Alan(AEF)Alan(AEF) kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

  1. A
    20
  2. B
    22
  3. C
    24
  4. 25Cevap
  5. E
    30

Cevap

Hesaplamalar sonucunda içteki üçgenin alanı 25 cm² olarak bulunur.
Paralelkenarın kenar oranları ile alanlar arasındaki cebirsel ilişki kurulduğunda toplam alan 60 cm2\text{cm}^2 çıkmaktadır. İçteki bölge olan AEFAEF üçgeninin alanı, 60 cm2\text{cm}^2 olan toplam alandan bilinen 12, 15 ve 8 cm2\text{cm}^2'lik dış bölgelerin çıkarılmasıyla 25 cm2\text{cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paralelkenarın toplam alanını SS olarak belirleyip kenar oranlarını yazın.
Alan(ADE)=12S⋅DEDCAlan(ADE) = \frac{1}{2} S \cdot \frac{DE}{DC} ve Alan(ABF)=12S⋅BFBCAlan(ABF) = \frac{1}{2} S \cdot \frac{BF}{BC}
Paralelkenarda bir köşeden karşı kenara çizilen üçgenin alanı, taban oranına bağlı olarak tüm alanın yarısı ile ilişkilidir.
2
Verilen alan değerlerini kullanarak kenar oranlarını SS cinsinden bulun.
DEDC=24S\frac{DE}{DC} = \frac{24}{S} ve BFBC=30S\frac{BF}{BC} = \frac{30}{S}
12=12S⋅k1⇒k1=24/S12 = \frac{1}{2} S \cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 24/S ve 15=12S⋅k2⇒k2=30/S15 = \frac{1}{2} S \cdot k_2 \Rightarrow k_2 = 30/S.
3
EFCEFC üçgeninin alanını bu oranlar cinsinden yazıp denklemi kurun.
Alan(EFC)=12S⋅(1−24S)⋅(1−30S)=8Alan(EFC) = \frac{1}{2} S \cdot (1 - \frac{24}{S}) \cdot (1 - \frac{30}{S}) = 8
EC=DC−DEEC = DC - DE ve CF=BC−BFCF = BC - BF olduğu için kenarların kalan kısımları kullanılır.
4
Denklemi çözerek paralelkenarın toplam alanını bulun.
S2−70S+720=0⇒S=60S^2 - 70S + 720 = 0 \Rightarrow S = 60
Denklem açıldığında (S−60)(S−10)=0(S-60)(S-10)=0 bulunur; alan 35'ten büyük olmalıdır.
5
Hedef bölgeyi bulun.
Alan(AEF)=60−(12+15+8)=25Alan(AEF) = 60 - (12 + 15 + 8) = 25
Tüm alandan dıştaki üç üçgenin alanları toplamı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda alan parçalama ve kenar oranları ile alan arasındaki cebirsel ilişki.
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru