Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde x−y+4=0x - y + 4 = 0 ve 2x+y−10=02x + y - 10 = 0 doğruları ile xx ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 27Cevap
  2. B
    18
  3. C
    6
  4. D
    3
  5. E
    54

Cevap

Doğruların kesim noktasının yy koordinatı yükseklik, xx eksenini kestikleri noktalar arasındaki mesafe ise taban kabul edilerek hesaplanan alan 27 birimkaredir.
Kesim noktası olan (2,6)(2, 6) üçgenin tepe noktasıdır ve yüksekliği 6 birimdir. xx eksenini kesen (−4,0)(-4, 0) ve (5,0)(5, 0) noktaları arasındaki 9 birimlik mesafe ise tabanı oluşturur. Bu değerlerin çarpımının yarısı olan 27 birimkare doğru alandır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözelim.
x−y+4=0x - y + 4 = 0 ve 2x+y−10=02x + y - 10 = 0 denklemlerini taraf tarafa toplarsak: 3x−6=0⇒x=23x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2. xx değerini ilk denklemde yerine yazarsak 2−y+4=0⇒y=62 - y + 4 = 0 \Rightarrow y = 6. Kesim noktası P(2,6)P(2, 6) olur.
İki doğrunun kesiştiği nokta, oluşacak üçgenin tepe noktasıdır ve yy koordinatı üçgenin yüksekliğini verir.
2
Doğruların xx eksenini kestiği noktaları bulalım (y=0y = 0).
x−0+4=0⇒x=−4x - 0 + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 ve 2x+0−10=0⇒2x=10⇒x=52x + 0 - 10 = 0 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5. Noktalar A(−4,0)A(-4, 0) ve B(5,0)B(5, 0) olur.
Üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde olduğu için ekseni kesen bu noktalar taban uzunluğunu belirler.
3
Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyelim.
Taban (AB) =∣5−(−4)∣=9= |5 - (-4)| = 9 birim. Yükseklik (hh) =P= P noktasının yy koordinatı =6= 6 birim.
xx ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe mutlak değer farkı ile, yükseklik ise tepe noktasının eksene uzaklığı ile bulunur.
4
Üçgenin alanını hesaplayalım.
Alan =Taban×Yu¨kseklik2=9×62=542=27= \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27 birimkare.
Geometride üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

İki doğrunun kesim noktası ve eksenleri kestiği noktalar yardımıyla analitik düzlemde alan hesabı.

İpuçları

1
Üçgenin köşelerini bulmak için önce doğruları birbirine eşitleyerek kesim noktasını, sonra her doğruda y=0y=0 yazarak xx eksenini kestikleri noktaları bulmalısın.
2
İki doğruyu topladığında 3x=63x = 6 elde edersin. Bu sana tepe noktasının apsisini verir. Buradan yüksekliği bulabilirsin.
3
Tepe noktası (2,6)(2, 6), taban noktaları ise (−4,0)(-4, 0) ve (5,0)(5, 0)'dır. Taban uzunluğu bu iki nokta arasındaki 9 birimlik mesafedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu doğruların yy ekseniyle oluşturduğu bölge için çözerek eksen farkının alanı nasıl etkilediğini görebilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru