Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAlt Küme

A={−3,−1,0,2,4}A = \{-3, -1, 0, 2, 4\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı ve en az bir pozitif tam sayı bulunur?

  1. A
    14
  2. B
    16
  3. 18Cevap
  4. D
    24
  5. E
    26

Cevap

18
Soruda istenen 'en az bir negatif ve en az bir pozitif' tam sayı bulundurma koşuludur. Bu tip sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en pratik yoldur. İstenmeyen durumlar: 'Hiç negatif sayı içermeyenler' veya 'Hiç pozitif sayı içermeyenler'dir. Tüm alt küme sayısı 25=322^5 = 32'dir. Hiç negatif içermeyenler (sadece {0,2,4}\{0, 2, 4\} ile oluşanlar) 8 tanedir. Hiç pozitif içermeyenler (sadece {−3,−1,0}\{-3, -1, 0\} ile oluşanlar) 8 tanedir. Ancak bu iki grupta ortak olanlar (sadece {0}\{0\} elemanını içerenler ve boş küme) iki kez sayılmıştır. Kesişim kümesi {0}\{0\}'dır ve 21=22^1=2 alt kümesi vardır. İstenmeyen toplam durum: 8+8−2=148 + 8 - 2 = 14. Sonuç: 32−14=1832 - 14 = 18.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını özelliklerine göre gruplandır.
Negatifler: {−3,−1}\{-3, -1\} (2 eleman), Pozitifler: {2,4}\{2, 4\} (2 eleman), Nötr: {0}\{0\} (1 eleman). Toplam 5 eleman.
Soruda negatif ve pozitif olma durumu şart koşulduğu için elemanları bu gruplara ayırmak gerekir.
2
Tüm alt küme sayısını hesapla.
25=322^5 = 32 tane tüm alt küme vardır.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
İstenmeyen durumları belirle ve sayılarını hesapla.
Durum 1 (Hiç negatif yok): {0,2,4}\{0, 2, 4\} kümesinin alt kümeleri (23=82^3=8). Durum 2 (Hiç pozitif yok): {−3,−1,0}\{-3, -1, 0\} kümesinin alt kümeleri (23=82^3=8).
'En az bir negatif ve en az bir pozitif' koşulunun tersi; 'hiç negatif yok' VEYA 'hiç pozitif yok' durumudur.
4
Kesişim kümesini belirle (hem negatif hem pozitif olmayanlar).
Hem negatif hem pozitif olmayan eleman sadece {0}\{0\}'dır. Bunun alt kümeleri (21=22^1=2).
Ayrık olmayan kümeler prensibi (Inclusion-Exclusion) gereği, iki kez çıkarılan kesişim kümesi (sadece 0 ve boş küme) hesaplanmalıdır.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumların birleşimini çıkar.
İstenmeyenler = 8+8−2=148 + 8 - 2 = 14. İstenen = 32−14=1832 - 14 = 18.
Tüm Durumlar - (Negatif Olmayan ∪\cup Pozitif Olmayan) = İstenen Durum.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı (En az bir...)

İpuçları

1
Doğrudan istenen alt kümeleri saymak yerine, tüm alt kümelerden istenmeyenleri çıkarmayı deneyin.
2
İstenmeyen durumlar iki gruptur: 1) İçinde hiç negatif sayı olmayanlar. 2) İçinde hiç pozitif sayı olmayanlar.
3
Negatif olmayanların sayısı 8, pozitif olmayanların sayısı 8'dir. Ancak dikkat edin, {0} kümesi ve boş küme her iki grupta da vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için 'En az bir asal sayı ve en az bir çift sayı içeren alt küme sayısı' sorusu çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru