Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten bir f:A→Af: A \to A fonksiyonu bulunmaktadır.

Her x∈Ax \in A için f(x)≠xf(x) \neq x koşulunun sağlandığı ve
(f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1
eşitliğinin geçerli olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    12
  5. E
    24

Cevap

Bu koşulları sağlayan 8 farklı fonksiyon vardır.
Soruda verilen (f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1 ve f(x)≠xf(x) \neq x şartları, 1'in başka bir yy elemanıyla karşılıklı yer değiştirmesini zorunlu kılar (1→y,y→11 \to y, y \to 1). yy için 4 seçenek vardır. Geriye kalan 3 elemanın hiçbiri kendi yerine gidemeyeceğinden (sabit nokta yok), bu 3 eleman için sadece 2 farklı eşleşme (şaşkın permütasyon) mümkündür. Toplam durum sayısı çarpma kuralı ile 4×2=84 \times 2 = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1 koşulunu analiz etme.
f(1)=yf(1) = y dersek, f(y)=1f(y) = 1 olmalıdır. f(x)≠xf(x) \neq x olduğu için y≠1y \neq 1 olmalıdır.
Fonksiyonun birebir ve örten olması ve verilen bileşke şartı, 1 ve y elemanlarının kendi aralarında eşleştiğini (takas edildiğini) gösterir.
2
yy değeri için olası seçimleri belirleme.
yy, AA kümesindeki 1 dışındaki elemanlardan biri olmalıdır (y∈{2,3,4,5}y \in \{2, 3, 4, 5\}). Toplam 4 seçenek vardır.
1 kendisiyle eşleşemez, bu nedenle kalan 4 elemandan biriyle eşleşmelidir.
3
Kalan 3 elemanın durumunu inceleme.
Geriye kalan 3 eleman (A∖{1,y}A \setminus \{1, y\}) kendi aralarında eşleşmelidir ve hiçbiri kendine gitmemelidir (f(x)≠xf(x) \neq x).
Birebir ve örtenlik gereği kalan elemanlar kalan değerleri almalıdır. Sabit nokta olmaması şartı burada da geçerlidir.
4
Kalan 3 eleman için 'Şaşkın Permütasyon' (Derangement) sayısını hesaplama.
3 elemanlı bir kümenin şaşkın permütasyon sayısı (D3D_3) 2'dir.
Örneğin kalan elemanlar {a, b, c} ise, uygun durumlar (b, c, a) ve (c, a, b) olmak üzere sadece 2 tanedir.
5
Toplam fonksiyon sayısını bulma.
4 (y seçimi) ×\times 2 (kalanların dizilimi) = 8.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) uygulanır.

Anahtar Kavram

Bu soru, fonksiyonlarda birebir ve örtenlik kavramını, bileşke fonksiyon özelliğini ve permütasyon (özellikle sabit noktası olmayan permütasyonlar/derangement) mantığını birleştirir.

İpuçları

1
(f∘f)(1)=1(f \circ f)(1) = 1 eşitliği, 1'in görüntüsünün görüntüsünün tekrar 1 olduğunu söyler. f(1)=yf(1) = y derseniz, f(y)f(y) ne olmalıdır?
2
f(1)=yf(1)=y ve f(y)=1f(y)=1 olduğunda, 1 ve y kendi arasında bir döngü oluşturur. f(x)≠xf(x) \neq x olduğu için yy, 1'den farklı olmalıdır. y için kaç seçenek vardır?
3
y seçildikten sonra geriye 3 eleman kalır. Bu 3 elemanın hiçbiri kendi yerine gidemez (örneğin 3, 3'e gidemez). 3 elemanı, hiçbiri kendi yerine gelmeyecek şekilde kaç farklı biçimde eşleştirebilirsiniz?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, A={1,2,3,4} kümesinde f(x)≠x şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğu (toplam şaşkın permütasyon sayısı) sorulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru