Bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 247'dir. Buna göre, bu kümenin 3 elema… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 247'dir. Buna göre, bu kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Kümenin eleman sayısı 8 olarak bulunur ve 3 elemanlı alt küme sayısı 56'dır.

Kümenin eleman sayısı n olsun. Tüm alt kümelerin sayısı

2^n

dir. 'En az 2 elemanlı' ifadesi, 0 elemanlı (boş küme) ve 1 elemanlı alt kümelerin hariç tutulduğu anlamına gelir. Denklem

2^n - \binom{n}{0} - \binom{n}{1} = 247

şeklinde kurulur. Buradan

2^n - 1 - n = 247 \Rightarrow 2^n - n = 248

elde edilir. Deneme yoluyla

n=8

olduğu görülür (

2^8 - 8 = 256 - 8 = 248

). Soruda istenen 3 elemanlı alt küme sayısı ise

\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56

olarak bulunur.

En az 2 elemanlı alt küme sayısı formülünü oluştur.

2^n - C(n,0) - C(n,1) = 247

Tüm alt kümelerden 0 ve 1 elemanlı olanları çıkararak en az 2 elemanlı olanları ifade ederiz.

Denklemi düzenle ve n değerini bul.

2^n - 1 - n = 247 ⇒ 2^n - n = 248 ⇒ n = 8

2^8 = 256 ve 256 - 8 = 248 olduğu için n=8 denklemi sağlar.

Bulunan n değerini kullanarak 3 elemanlı alt küme sayısını hesapla.

C(8,3) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56

Kombinasyon formülü kullanılarak sonuca ulaşılır.

Alt Küme Sayısı ve Kombinasyon İlişkisi

Soru