Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu,
f(x)={4x+a,x<1bx+2,x≥1 f(x) = \begin{cases} 4x + a, & x < 1 \\ bx + 2, & x \geq 1 \end{cases}
biçiminde veriliyor.

ff fonksiyonu birebir ve örten olduğuna ve f−1(6)=2f^{-1}(6) = 2 eşitliği sağlandığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    0
  3. 2Cevap
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

a + b toplamı 2'dir.
Doğru cevap, f(2)=6f(2)=6 eşitliğinden b=2b=2 bulunması ve fonksiyonun x=1x=1 noktasında sürekli olması şartından (4+a=b+24+a=b+2) a=0a=0 bulunarak toplamın 2 elde edilmesidir.

Adım Adım Çözüm

1
f−1(6)=2f^{-1}(6) = 2 bilgisini kullanarak bb değerini bulma.
f(2)=6f(2) = 6 olur. 2≥12 \ge 1 olduğundan alttaki parça kullanılır: 2b+2=6  ⟹  2b=4  ⟹  b=22b + 2 = 6 \implies 2b = 4 \implies b = 2.
Ters fonksiyon özelliği ve parçalı fonksiyonun tanım aralığı seçimi.
2
Birebir ve örtenlik şartından dolayı kritik noktada (x=1x=1) sürekliliği sağlama.
x=1x=1 noktasında parçaların limitleri eşit olmalıdır: 4(1)+a=b(1)+24(1) + a = b(1) + 2.
Parçalı doğrusal fonksiyonların birebir ve örten olması için kopma noktası olmamalıdır (grafik birleşmelidir).
3
Bulunan bb değerini yerine yazarak aa değerini hesaplama.
4+a=2+2  ⟹  4+a=4  ⟹  a=04 + a = 2 + 2 \implies 4 + a = 4 \implies a = 0.
Denklem çözümü.
4
a+ba + b toplamını bulma.
0+2=20 + 2 = 2.
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olabilmesi için parçaların birleşim noktalarında kopukluk olmamalı (süreklilik şartı) ve her parça monoton (aynı işaretli eğim) olmalıdır.

İpuçları

1
f−1(6)=2f^{-1}(6) = 2 eşitliği, f(2)=6f(2) = 6 anlamına gelir. 2 sayısı hangi aralıkta?
2
Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda birebir ve örten olması için parçaların birleştiği nokta olan x=1x=1'de grafik kopmamalıdır.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örtenlik şartının grafik üzerinde nasıl göründüğünü (yatay doğru testi ve süreklilik) inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru