Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimler

Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 4848 cm ve toplam yüzey alanı 94 cm294 \text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    55
  2. B
    77
  3. 525\sqrt{2}Cevap
  4. D
    2132\sqrt{13}
  5. E
    88

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu 525\sqrt{2} cm'dir.
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a,b,ca, b, c olsun. Ayrıtlar toplamı 4(a+b+c)=484(a+b+c)=48 cm olduğundan a+b+c=12a+b+c=12 cm olur. Yüzey alanı 2(ab+bc+ca)=942(ab+bc+ca)=94 cm²'dir. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) özdeşliğine göre, 122=d2+9412^2 = d^2 + 94 (burada dd cisim köşegenidir) eşitliğinden 144=d2+94144 = d^2 + 94 ve d2=50d^2=50 bulunur. Buradan d=52d = 5\sqrt{2} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ayrıtlar toplamı formülünü yaz ve uygula.
a+b+c=12a+b+c = 12
Bir dikdörtgenler prizmasında 1212 ayrıt vardır ve her boyuttan dörder tane bulunur: 4(a+b+c)=484(a+b+c) = 48 ise a+b+c=12a+b+c = 12 olur.
2
Yüzey alanı formülünü belirle.
2(ab+bc+ca)=942(ab+bc+ca) = 94
Prizmanın toplam yüzey alanı, tüm yüzlerin alanları toplamıdır.
3
Cisim köşegeni formülü ile üçlü terim kare özdeşliği arasındaki ilişkiyi kur.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)
Cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} olduğundan, d2=a2+b2+c2d^2 = a^2+b^2+c^2 ifadesini özdeşlikte yerine yazabiliriz.
4
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koyarak cisim köşegeninin karesini bul.
d2=50d^2 = 50
122=d2+94⇒144=d2+94⇒d2=144−94=5012^2 = d^2 + 94 \Rightarrow 144 = d^2 + 94 \Rightarrow d^2 = 144 - 94 = 50 elde edilir.
5
Sonucun karekökünü alarak cisim köşegenini hesapla.
d=52d = 5\sqrt{2}
50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} cm bulunur.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu ve cebirsel özdeşlikler arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a,b,ca, b, c ise ayrıtlar toplamının 4(a+b+c)4(a+b+c) olduğunu hatırlayın.
2
Cisim köşegeni formülü d2=a2+b2+c2d^2 = a^2+b^2+c^2 şeklindedir. Bu ifadeyi (a+b+c)2(a+b+c)^2 açılımında bulabilirsiniz.
3
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) özdeşliğini kullanarak yüzey alanı ve ayrıtlar toplamını bu denklemde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soru tipi olarak, cisim köşegeni ve hacmi verilen bir prizmanın yüzey alanını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ayrıtları temsili değerler seçerek denklemi sağlamaya çalışmak teorik olarak mümkün olsa da, özdeşlik kullanımı çok daha hızlı ve güvenli bir yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru